[論文レビュー] On the Fourier expansion method for highly accurate computation of the Voigt/complex error function in a rapid algorithm

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Image and Signal Denoising Methods参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ボイチト関数および複素誤差関数の高精度かつ高速な計算のための、簡素化されたフーリエ展開に基づくアルゴリズムを提示する。近似の再構築により冗長な演算を最小限に抑え、ベクトル化された配列計算を活用することで、機械精度の正確さを維持したまま、Weidemanのアルゴリズムと比較して5倍以上の高速化を達成した。これは、大規模な配列処理において特に有益である。

ABSTRACT

In our recent publication [1] we presented an exponential series approximation suitable for highly accurate computation of the complex error function in a rapid algorithm. In this Short Communication we describe how a simplified representation of the proposed complex error function approximation makes possible further algorithmic optimization resulting in a considerable computational acceleration without compromise on accuracy.

研究の動機と目的

• 正確さを損なわせることなく、ボイチト関数および複素誤差関数の計算に効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 近似構造を簡素化することで、フーリエ展開法の実行速度を最適化すること。
• スペクトル線幅の拡大やプラズマ物理学のシミュレーションにおいて、大規模な配列処理を必要とする高性能計算を可能にすること。
• 繰り返しの指数関数的評価を最小限に抑え、ベクトル化された演算を活用することで、計算のオーバーヘッドを低減すること。
• アルゴリズムの簡素化が、数値精度を損なわせることなく顕著な高速化をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 複素誤差関数は、ガウス型エンvelope から導かれる係数を有するフーリエ級数展開によって近似される。
• 元の和を n=0 項を分離することで再構成し、計算の冗長性を低減した簡素化された解析的形が得られる。
• 簡素化された形は、(−1)^n e^{iτₘz} 項と z の有理関数の和として表現され、効率的なベクトル化実装が可能になる。
• アルゴリズムは主に3つの配列 A = τₘz、B = e^{iA}、C = A.*A を使用し、入力配列ごとに一度だけ計算される。
• MATLAB風の要素ごとの演算により効率的なベクトル化が可能であり、指数関数的演算（B）の計算コストは総実行時間の6%未満にとどまる。
• e^{iτₘz} の有理近似を避ける。これは、τₘ や N の値を小さくしても、その計算コストが依然として無視できるほど低いからである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素誤差関数のフーリエ展開法を、正確さを損なわず計算のオーバーヘッドを低減できるように簡素化できるか？
• RQ2 大規模応用において、ベクトル化された配列演算はボイチト関数の評価をどの程度高速化できるか？
• RQ3 簡素化されたアルゴリズムの計算性能は、Weidemanの手法や Algorithm 680 と比較してどの程度優れているか？
• RQ4 τₘ と N を低減させた場合、正確さと性能にどのような影響があるか。特に、極めて高い精度を必要としない応用においては？
• RQ5 指数関数的評価ステップを最適化することで、それが総合計算時間の主な要因ではなくなるか？

主な発見

• 3000万要素を超える配列を処理する際、簡素化されたアルゴリズムは Weideman のアルゴリズムと比較して5倍以上の高速化を達成した。
• 大規模な入力配列を扱う際、元の近似式 (1) よりも2倍以上速い。
• τₘ = 12 および N = 23 の条件下で、指数関数的評価（B = e^{iA}）の計算コストは、総実行時間の6%未満にとどまる。
• 数値結果は Algorithm 680 と最後の1桁まで一致し、機械精度の正確さが確認された。
• τₘ と N をそれぞれ9と12に低減させることで、極めて高い精度を必要としない応用においても、正確さに損なわれることなくさらなる高速化が得られた。
• 本手法により、大規模なスペクトル線幅の拡大シミュレーションに適した、高速かつ高精度なボイチト関数の計算が可能になった。