[論文レビュー] On the Fourier transformation of Renormalization Invariant Coupling

D. V. Shirkov|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、QCDの不変結合定数のフーリエ変換を分析し、摂動的QCDにおける物理的に不適切な特異点が、不適切な解析接続の結果であることを示している。長距離漸近的振る舞い（位置空間における指数関数的増加結合定数など）が運動量空間における有限または弱い特異的振る舞いに写像されることを示しており、タウーベリアン定理およびALPHA共同研究グループの lattice 結果と整合的である。

ABSTRACT

Integral transformations of the QCD invariant (running) coupling and of some related objects are discussed. Special attention is paid to the Fourier transformation, that is to transition from the space-time to the energy--momentum representation. The conclusion is that the condition of possibility of such a transition provides us with one more argument against the real existence of unphysical singularities observed in the perturbative QCD. The second conclusion relates to the way of "translation" of some singular long--range asymptotic behaviors to the infrared momentum region. Such a transition has to be performed with the due account of the Tauberian theorem. This comment relates to the recent ALPHA collaboration results on the asymptotic behavior of the QCD effective coupling obtained by lattice simulation.

研究の動機と目的

• 位置空間と運動量空間におけるQCD不変結合定数の表現の間のフーリエ変換の妥当性を検討すること。
• 摂動的QCDにおける観察された物理的に不適切な特異点が、積分変換の分析を通じて不適切な解析接続の結果であるかどうかを評価すること。
• 特にALPHA共同研究グループによる距離表示における指数関数的増加結合定数の観察と、運動量空間における赤外領域の振るまいを調和させること。
• タウーベリアン定理を用いて、長距離漸近的振るまいを赤外運動量領域に正しく写像する方法を決定すること。
• 特に有効結合定数を含む非摂動的QCD関数が赤外領域で物理的に整合的であるかどうかを評価すること。

提案手法

• 不変結合定数の運動量空間と位置空間の表現を結ぶために、アドラー型変換およびサイン・フーリエ変換を含む積分変換を用いる。
• 変換中にスケール変換不変性を保つために、重正化群（RG）の関数方程式を適用する。
• 位置空間における関数の漸近的振るまい（例：指数関数的増加）と運動量空間における振るまい（例：有限または1/Q型特異性）を厳密に結びつけるためにタウーベリアン定理を用いる。
• 変換された赤外領域の振るまいを、特にALPHA共同研究グループの運動量表示におけるlatticeシミュレーション結果と比較する。
• シュレーディンガー関数型結合定数を距離表示で分析し、フーリエ変換フレームワークを用いて運動量空間に写像する。
• コンfinementとKugo-Ojima条件および伝播関数の重正化定数の消失を結びつけて、QCDにおける赤外極限の物理的意味を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位置空間と運動量空間の間のフーリエ変換がQCD不変結合定数に一貫して適用可能であり、RG不変性が課す制約は何か？
• RQ2 摂動的QCDにおける物理的に不適切な特異点が、不適切な解析接続に起因するものであり、積分変換の分析によってこれを除外できるか？
• RQ3 長距離漸近的振るまい（例：距離表示における指数関数的増加）を赤外運動量領域にどのように写像すべきか？
• RQ4 量子力学的対応則（r → 1/Q）はQCD結合定数の漸近的振るまいに対してどの程度有効であり、その限界は何か？
• RQ5 シュレーディンガー関数型スキームにおけるlatticeシミュレーション結果（α_SF(L) ∼ e^{mL}）は、有効結合定数の運動量空間における赤外領域の振るまいとどのように関係するか？

主な発見

• QCD不変結合定数のフーリエ変換は、摂動的QCDにおける物理的に不適切な特異点が、適切な解析接続を経て生存しないことから、それらが物理的に現実的でない証拠を示している。
• 位置空間における長距離漸近的振るまい（例：ALPHA lattice シミュレーションで観測された α_SF(L) ∼ e^{mL}）は、運動量空間において有限または弱い特異的（1/Q型）の赤外領域の振るまいに写像される。
• 量子力学的対応則（r → 1/Q）は、べき乗的および対数的漸近的振るまいに対しては概ね有効であるが、タウーベリアン条件を満たさない指数的振るまいに対しては失敗する。
• タウーベリアン定理は、漸近的振るまいの写像に厳密な制約を課す：距離空間における指数的増加は、運動量空間において有限または可積分な特異性を生じるが、強い発散にはならない。
• 有限または弱い特異的結合定数に対応する赤外領域の振るまい（ALPHA–IR,a）は、コンfinementと整合的であり、他のlatticeシミュレーション結果およびKugo-Ojima条件とも一致する。
• この分析は、非摂動的QCD関数（特に有効結合定数）が、ハドロンスケール（r ≳ 10^{-13} cm）においては物理的意味が曖昧であるため、赤外領域で注意深く解釈されるべきであるという見解を支持する。