[論文レビュー] On the Fractional Derivatives of Radial Basis Functions

Maryam Mohammadi, Robert Schaback|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1次元における5種類の径数基底関数（RBF）—累乗、ガウス、多準拠、マータン、薄板スプライン—のリーマン＝リウヴィル型およびキャプート型分数階積分および微分の解析的公式を導出する。これらの公式により、分数階微分方程式を解く高次元のメッシュレス数値法が可能となり、分数階常微分方程式に対するRBFコロケーション法および分数階偏微分方程式に対するラインズ法（Method of Lines）を用いた数値実験が行われ、既知のベンチマークと一致する結果が得られた。

ABSTRACT

The paper provides the fractional integrals and derivatives of the Rie\-mann-Liouville and Caputo type for the five kinds of radial basis functions (RBFs), including the powers, Gaussian, multiquadric, Matern and thin-plate splines, in one dimension. It allows to use high order numerical methods for solving fractional differential equations. The results are tested by solving two fractional differential equations. The first one is a fractional ODE which is solved by the RBF collocation method and the second one is a fractional PDE which is solved by the method of lines based on the spatial trial spaces spanned by the Lagrange basis associated to the RBFs.

研究の動機と目的

• メッシュレスRBF法を用いた分数階微分方程式の高次数値解法を可能にする。
• 一般的なRBFの分数階積分および微分の閉形式表現を導出することで、RBF法を分数階微積分学へ拡張する。
• 分数階PDEおよびODEにRBFに基づくコロケーション法およびガレルキン法を適用する理論的基盤を提供する。
• RBFを用いた既知の解析的性質を持つ分数階微分方程式のベンチマーク問題に対して、手法の妥当性を検証する。

提案手法

• 積分変換および特殊関数を用いて、5種類のRBFのリーマン＝リウヴィル型およびキャプート型分数階微分（次数α）を導出する。
• RBFカーネルの繰り返し積分および微分を用いてリーマン＝リウヴィル定義を適用する。
• m = ⌈α⌉ である第m階微分をRBFに対して積分することでキャプート定義を適用する。
• PDEにおける空間的演算子としてのリエス分数階微分を、左および右のリーマン＝リウヴィル微分を組み合わせて表現する。
• RBF補間行列の逆行列を用いて、境界条件を満たすRBFに基づくラグランジュ基底関数を構築する。
• 空間的RBF離散化から得られるODE系の時間積分を用いて、分数階常微分方程式をRBFコロケーション法で、分数階偏微分方程式をラインズ法で解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なRBFの解析的分数階微分を導出できるか。その結果、高次元のメッシュレスソルバーに応用可能か。
• RQ2 RBFに基づくコロケーション法は、非局所的作用素を持つ分数階常微分方程式にどのように適合可能か。
• RQ3 RBFから生成されたラグランジュ基底関数を用いたラインズ法は、リエス型空間微分を有する分数階偏微分方程式を効果的に解けるか。
• RQ4 導出された分数階RBF公式を用いた場合、RBF法の精度および収束特性はどのように振る舞うか。

主な発見

• 累乗、ガウス、多準拠、マータン、薄板スプラインRBFのリーマン＝リウヴィル型およびキャプート型分数階微分の解析的表現が1次元で導出された。
• RBFの分数階微分は、逐次超幾何関数およびガンマ関数を用いて表現され、コロケーションフレームワーク内での正確な計算が可能となった。
• RBFコロケーション法は、右辺が f(t) = 1、f(t) = t e^{-t}、f(t) = e^{-t} sin(0.2t) の分数階常微分方程式を正確に解き、文献と一致する結果を得た。
• RBFに基づくラグランジュ基底関数を用いたラインズ法は、α = 1.8およびα = 1.5のリエス型分数階偏微分方程式を正確に解き、u₀(x) = x²(π−x)およびu₀(x) = sin(4x) の既知の解を再現した。
• c=1のガウスRBFとβ=1、c=1の多準拠RBFを用いた場合、同等の結果が得られ、RBFの種類にかかわらず安定であることが示された。
• 本手法により、メッシュ生成を必要とせず、RBFのメッシュレス性と分数階微分の非局所性を活かした高次精度の分数階微分方程式の数値解法が実現された。