[論文レビュー] On the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs

Min Feng, Kaishun Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、因子グラフのパラメータに帰着することで、コーナ・プロダクトおよびレキシコグラフィック・プロダクト・グラフの分数メトリック次元の閉形式の公式を確立する。局所化関数パラメータ $ l_f(H) $ を導入し、$ \\dim_f(G \odot H) = \\dim_f(G) + |V(G)| \cdot l_f(H) $ を証明し、$ H $ が頂点推移的である場合には $ \dim_f(G[H]) = |V(G)| \cdot l_f(H) $ を導出する。このとき $ l_f(H) $ は次数および共通近傍のパラメータを用いて明示的に計算可能である。

ABSTRACT

A vertex $x$ in a graph $G$ resolves two vertices $u$, $v$ of $G$ if the distance between $u$ and $x$ is not equal to the distance between $v$ and $x$. A function $g$ from the vertex set of $G$ to $[0,1]$ is a resolving function of $G$ if $g(R_G\{u,v\})\geq 1$ for any two distinct vertices $u$ and $v$, where $R_G\{u,v\}$ is the set of vertices resolving $u$ and $v$. The real number $\sum_{v\in V(G)}g(v)$ is the weight of $g$. The minimum weight of all resolving functions for $G$ is called the fractional metric dimension of $G$, denoted by $\dim_f(G)$. In this paper we reduce the problem of computing the fractional metric dimension of corona product graphs and lexicographic product graphs, to the problem of computing some parameters of the factor graphs.

研究の動機と目的

• グラフ $ G \odot H $ のコーナ・プロダクトの分数メトリック次元を、$ G $ および $ H $ のパラメータの観点から特定すること。
• 因子グラフの構造的パラメータを用いて、グラフ $ G[H] $ のレキシコグラフィック・プロダクトの分数メトリック次元を表現すること。
• 頂点対の近傍対称差に基づく頂点対を解消する関数の最小重みを捉える「局所化関数パラメータ」$ l_f(H) $ を導入し、その計算を行うこと。
• 頂点推移的である $ H $ に対して、$ l_f(H) = \frac{|V(H)|}{2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\}} $ が成り立つことを確立し、$ \dim_f(G[H]) $ の正確な計算を可能にする。

提案手法

• グラフ $ H $ 上の局所化関数 $ g $ の概念を導入し、すべての異なる $ v_1, v_2 $ に対して $ g(S_H\{v_1,v_2\}) \geq 1 $ を満たすものとする。ここで $ S_H\{v_1,v_2\} $ は、それらの開近傍の対称差を表す。
• $ l_f(H) $ を、このような局所化関数の最小重みとして定義し、これは積グラフの分数メトリック次元を計算するための主要パラメータとなる。
• レキシコグラフィック・プロダクトの構造を用いて $ G[H] $ を $ H $ のコピーに分解し、$ f_i(v) = \frac{1}{2}(\overline{f_i}((w_1,v)) + \overline{f_i}((w_2,v))) $ を用いて $ G[H] $ 上の解消関数を構成する。ここで $ \overline{f_i} $ は $ K_2[H_i] $ 上の解消関数である。
• 対称性および頂点推移性を応用し、すべての頂点対における $ S_H\{v_1,v_2\} $ の最小サイズを活用することで、$ l_f(H) $ の閉形式の表現を導出する。
• コーナ・プロダクト構造における解消集合の分析と、$ G $ および $ H $ 上の解消関数との関係を用いて、$ \dim_f(G \odot H) = \dim_f(G) + |V(G)| \cdot l_f(H) $ を証明する。
• $ G $ に双子の頂点が存在しない場合、$ \dim_f(G[H]) = |V(G)| \cdot l_f(H) $ が成り立ち、双子が存在する場合には $ m_1(G), m_2(G), m_3(G) $ を用いた一般式を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーナ・プロダクト $ G \odot H $ の分数メトリック次元は、$ G $ および $ H $ のパラメータを用いてどのように表現できるか？
• RQ2 局所化関数パラメータ $ l_f(H) $ は、積グラフの分数メトリック次元を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 特に $ H $ が頂点推移的である場合に、レキシコグラフィック・プロダクト $ G[H] $ の分数メトリック次元を $ G $ および $ H $ のパラメータの関数に還元できるか？
• RQ4 頂点推移的グラフに対して $ l_f(H) $ の正確な値は何か？また、次数、$ \lambda(H) $、$ \mu(H) $ などのグラフ不変量とどのように関係しているか？

主な発見

• コーナ・プロダクトの分数メトリック次元は、$ \dim_f(G \odot H) = \dim_f(G) + |V(G)| \cdot l_f(H) $ を満たし、問題は $ \dim_f(G) $ と $ l_f(H) $ の計算に帰着される。
• 頂点推移的グラフ $ H $ に対して、局所化関数パラメータは $ l_f(H) = \frac{|V(H)|}{2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\}} $ である。ここで $ k(H) $ は次数、$ \lambda(H) $ は隣接頂点対の最大共通近傍数、$ \mu(H) $ は非隣接頂点対の最大共通近傍数を表す。
• レキシコグラフィック・プロダクトの分数メトリック次元は、$ \dim_f(G[H]) = m_1(G)l_f(H) + \frac{m_2(G)}{2}\dim_f(K_2[H]) + \frac{m_3(G)}{2}\dim_f(K_2[\overline{H}]) $ で与えられる。ここで $ m_1, m_2, m_3 $ は双子の種別に応じた頂点集合の数を表す。
• $ G $ に双子の頂点が存在しない場合、$ \dim_f(G[H]) = |V(G)| \cdot l_f(H) $ が成り立ち、$ H $ が頂点推移的である場合には等号が成立する。
• 定数関数 $ \overline{f}((u,v)) = \frac{1}{s} $（$ s = 2k(H) - \max\{2\lambda(H), 2\mu(H) - 2\} $）が $ G[H] $ 上で有効な解消関数であることが示され、上界の妥当性が証明され、公式の正当性が確認された。