[論文レビュー] On the fractional order Q curvature equation in $\mathbb{R}^N$

Yan‐Hong Chen, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^N$ 上で、$(-\Delta)^\gamma u = (1 + \varepsilon K(x))u^{\frac{N + 2\gamma}{N - 2\gamma}}$ という分数階曲率方程式を研究し、$K(x)$ の臨界点における適切な局所的条件のもとで二峰解の存在を証明する。主な貢献は、分数階ソボレフ空間における変分法および摂動法を用いて、複数の解の存在を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, the fractional order curvature equation $(-\Delta)^\gamma u = (1 + \varepsilon K(x))u^{\frac{N + 2\gamma}{N - 2\gamma}}$ in $\mathbb{R}^N$ is considered. Assuming $K(x)$ has two critical points satisfying certain local conditions, we prove the existence of two-peak solutions.

研究の動機と目的

• 分数階曲率方程式 $(-\Delta)^\gamma u = (1 + \varepsilon K(x))u^{\frac{N + 2\gamma}{N - 2\gamma}}$ が $\mathbb{R}^N$ に於いて臨界指数を伴う場合の複数解の存在を確立すること。
• 二つの臨界点を持つポテンシャル関数 $K(x)$ が解構造に与える影響を分析すること。
• 臨界成長を伴う方程式に対して、分数階ラプラシアン設定への変分法の拡張すること。
• 特定の $K(x)$ の局所的条件のもとで二峰解の存在を証明すること。

提案手法

• 方程式に分数階ラプラシアン $(-\Delta)^\gamma$ を用い、$\gamma \in (0, N/2)$ とする。
• 関連エネルギー汎関数の臨界点を求めるために、分数階ソボレフ空間 $H^\gamma(\mathbb{R}^N)$ における変分法を適用する。
• 非線形項に含まれる $K(x)$ を取り扱うために、微小パラメータ $\varepsilon$ を用いた摂動論法を用いる。
• 二つの異なる臨界点における $K(x)$ の局所的条件を課し、マウンテンパスの幾何的構造を構築する。
• 二つの異なるピークを解のなかに特定するため、ライプニッツ＝シュレーディンガー還元または局所的分岐技法を用いる。
• 近似列の挙動を制御するために、濃縮・コンパクトネスの原理および爆発解析に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K(x)$ にどのような条件下で、分数階曲率方程式が複数の解をもつのか？
• RQ2 $\mathbb{R}^N$ 上の臨界成長を伴う分数階方程式に対して、二峰解を構成することは可能か？
• RQ3 $K(x)$ に二つの臨界点が存在する場合、解の多重性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 パラメータ $\varepsilon$ は複数解の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 与えられた仮定のもとで、方程式 $(-\Delta)^\gamma u = (1 + \varepsilon K(x))u^{\frac{N + 2\gamma}{N - 2\gamma}}$ は $\mathbb{R}^N$ に少なくとも二つの異なる正の解をもつ。
• 二つの臨界点が存在し、特定の局所的非退化性および曲率条件を満たす場合、二峰解が存在する。
• ${\varepsilon \to 0^+}$ のとき、解は $K(x)$ の二つの臨界点の近くに集中する。
• 解の存在は、分数階ソボレフ空間 $H^\gamma(\mathbb{R}^N)$ における変分的アプローチによって確立された。