[論文レビュー] On the frequency of vanishing of quadratic twists of modular L-functions

JB Conrey, JP Keating+2 more|ArXiv.org|Dec 7, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、ランダム行列理論を用いて、特に楕円曲線のモジュラーL関数の平方自由なtwistが中心的臨界点で2次以上の位数で消失する頻度を予測する。その予想では、|d| ≤ x を満たすようなそのようなtwistの数は、$ V_E(x) \sim \tilde{b}_E x^{3/4} (\log x)^{e_E} $ として漸近的に増加するとされ、定数は正交対称性および $ SO(2N) $ における特徴多項式のモーメント統計から導かれる。この予想は、3つの楕円曲線に関する数値的証拠によって裏付けられている。

ABSTRACT

We present theoretical and numerical evidence for a random matrix theoretic approach to a conjecture about vanishings of quadratic twists of certain L-functions

研究の動機と目的

• 中心的臨界点におけるモジュラーL関数の平方twistの消失頻度を理解すること、特に楕円曲線に対して。
• s = 1/2 で位数2以上で消失するような、|d| ≤ x を満たす基本的判別式 d の数を調査すること。
• Goldfeldの予想 $ o(x) $ を超える、$ V_E(x) $ の精密な漸近的予想を提示すること。
• 中心的L値の分布をランダム行列理論（特に正交対称性タイプ $ O^+ $）と結びつけ、モーメントに基づく予測を導出すること。
• レベル11, 19, 32の3つの楕円曲線に関するデータを用いて、予想を数値的に検証すること。

提案手法

• Katz-Sarnakの哲学に従い、$ w_E \chi_d(-N) = +1 $ を満たすtwist L関数の族 $ \mathcal{F}_{E^+} = \{ L_E(s, \chi_d) \} $ を正交族として、$ O^+ $ の対称性タイプでモデル化する。
• 中心的L値のモーメントを用い、$ N \sim \log T $ とすると、$ SO(2N) $ に属する行列の特徴多項式のモーメントと類似すると仮定する。
• Keating-Snaithの公式を $ SO(2N) $ 上での $ |\det(U - I)|^k $ のモーメントに適用し、漸近的表現 $ M_E(T,k) \sim g_k(O^+) a_k(E) (\log T)^{k(k-1)/2} $ を得る。ここで $ g_k(O^+) $ はBarnesの二重ガンマ関数を含む。
• 全モーメント母関数から、中心的L値の分布の予想される密度関数を導出し、逆ミンコフスキー変換のMeijer G関数表現を用いる。
• 理論的予測 $ P_{O}(N,x) $ および $ P_{USp}(N,x) $ 密度と比較するため、実測データを平均が一致するように正規化する。
• 3つの楕円曲線について数値的検証を行い、観測された消失頻度および値分布を理論的予測と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的臨界点 s = 1/2 で位数2以上で消失するような、|d| ≤ x を満たす基本的判別式 d の漸近的頻度は何か？
• RQ2 そのようなtwistにおける中心的L値 $ L_E(1/2, \chi_d) $ の分布は、ランダム行列理論の予測とどのように一致するか？
• RQ3 $ SO(2N) $ におけるランダム行列理論のモーメント予想を用いて、消失twistの数 $ V_E(x) $ の正確な漸近的公式を導出できるか？
• RQ4 レベル11, 19, 32の楕円曲線における数値計算は、$ V_E(x) $ の予想される $ x^{3/4} (\log x)^{e_E} $ 増加率をどの程度支持するか？
• RQ5 中心的L値 $ L_E(1/2, \chi_d) $ の値分布は、正交対称性下での理論的 $ P_{O}(N,x) $ と、ユニタリ・シンプレクティックモデル下での $ P_{USp}(N,x) $ と比べてどうなるか？

主な発見

• 楕円曲線L関数の平方twistで、s = 1/2 で位数2以上で消失するものの数は、$ V_E(x) \sim b_E x^{3/4} (\log x)^{e_E} $ と予想され、$ b_E $ と $ e_E $ は曲線Eに依存する。
• 漸近的表現における指数 $ 3/4 $ は、半整数重のモジュラー形式のフーリエ係数に関するRamanujan予想と、ゼロ係数の予想される頻度から支持される。
• レベル11, 19, 32の楕円曲線に関する数値データは、予想される $ x^{3/4} $ スケーリングと良好に一致しており、特に $ \log T $ で正規化した場合、対数的変動の遅さに起因する残存フラクチュエーションを除けば顕著である。
• 偶数関数方程式を持つ素数判別式 d に対する $ L_E(1/2, \chi_d) $ の値分布は、ランダム行列理論から導かれた理論的 $ P_{O}(N,x) $ 密度とよく一致する。
• 比較のため、Dirichlet L関数の s = 1/2 における分布はユニタリ・シンプレクティック予測 $ P_{USp}(N,x) $ と一致し、Katz-Sarnak枠組みが別の文脈でも正当化されていることを示している。
• この予想は、$ L_E(1/2, \chi_d) $ が半整数重のモジュラー形式のフーリエ係数の二乗に関係するWaldspurgerの公式と整合しており、かつその係数に関するRamanujan予想とも整合する。