[論文レビュー] On the fundamental group of Hom(Z^k,G)

José Manuel Gómez, Alexandra Pettet+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、自明な表現を基点とするコンパクトなリー群 G の可換 k-組の空間の基本群が、G の基本群の k 回積に同型であることを確立する。Weyl群作用と、捩れた積 G ×_{N(T)} Tᵏ から Hom(ℤᵏ, G)₁ への重要な全射写像 σₖ を用いて、単連結の場合への還元と被覆空間論的手法により、特定の群に対する予想を解決し、一般化する。

ABSTRACT

Let G be a compact Lie group, and consider the variety Hom(Z^k,G) of representations of Z^k into G. We view this as a based space by designating the trivial representation to be its base point. We prove that the fundamental group of this space is naturally isomorphic to π_1(G)^k.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群 G の可換 k-組の空間の基本群を、自明な表現を基点として特定すること。
• Torres-Giese と Sjerve が SO(3)、SU(2)、U(2) に対して得た結果を、すべてのコンパクトなリー群に一般化すること。
• すべての k ≥ 1 およびコンパクトなリー群 G に対して、π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ が自然に成り立つことを示すこと。
• その連結成分と基本群の振る舞いを分析することで、Hom(ℤᵏ,G) の位相的構造を明確にすること。

提案手法

• G₀ → G の自然な包含写像 i: G₀ → G を用いて、G が連結の場合に問題を還元する。なぜなら π₁(Hom(ℤᵏ,G₀)) → π₁(Hom(ℤᵏ,G)) が同型であるから。
• 写像 σₖ: G ×_{N(T)} Tᵏ → Hom(ℤᵏ,G)₁ を定義し、(g,t₁,…,tk) を (gt₁g⁻¹,…,gtk g⁻¹) に送る。これが連続的かつ全射的であることを示す。
• 一般位置の議論を用いて σₖ が π₁-全射であることを証明し、Hom(ℤᵏ,G)₁ 内の任意のループが σₖ の下で引き上がることを示す。
• 単連結な G の場合、π₁(G ×_{N(T)} Tᵏ) の生成元が π₁(σₖ) で自明なループに写ることを示し、π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ を得る。
• 非単連結な G に対しては、普遍被覆 G̃ に上昇させ、Hom(ℤᵏ,G̃)₁ と Hom(ℤᵏ,G)₁ 間の誘導写像を分析することで結果を拡張する。
• Weyl の被覆定理と正則元の構造を用いて、σₖ が正則部へ微分同相写像であることを保証し、ホモトピー解析を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリー群 G の可換 k-組の空間の基本群は、自明な表現を基点とするとき、どのように記述できるか？
• RQ2 すべてのコンパクトなリー群 G とすべての k ≥ 1 に対して、同型 π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) ≅ π₁(G)ᵏ が成り立つか？
• RQ3 基点が自明な表現の成分にない場合、特にその成分に依存する Hom(ℤᵏ,G) の位相的構造はどのように変化するか？
• RQ4 被覆空間論を用いて、単連結群から一般のコンパクトなリー群への結果の拡張は可能か？
• RQ5 Hom(ℤᵏ,G) が道路連結でない原因となる位相的障害は何か？ そしてそれは基本群にどのように影響するか？

主な発見

• 任意のコンパクトなリー群 G と k ≥ 1 に対して、基本群 π₁(Hom(ℤᵏ,G)₁) は自然に π₁(G)ᵏ に同型である。
• G が単連結であっても、Hom(ℤᵏ,G) が道路連結でない場合でも、基点が自明な表現の成分にある限り、この結果は成り立つ。
• SU(n)（n ≥ 2）に対しては、すべての k ≥ 1 に対して Hom(ℤᵏ,SL(n,ℂ)) が連結かつ単連結であることが、系として得られる。
• 写像 σₖ: G ×_{N(T)} Tᵏ → Hom(ℤᵏ,G)₁ は π₁-全射である。これは証明における重要な技術的ステップである。
• G が単連結でない場合、普遍被覆への上昇と被覆写像の解析により、Hom(ℤᵏ,G)₁ の基本群は π₁(G)ᵏ に同型である。
• 基点が自明な表現の成分にない場合、この結果は成り立たない。例えば、Hom(ℤ³,Spin(7)) の「特異成分」B₃ では基本群が (ℤ/2)⁴ である。