[論文レビュー] On the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus and some $(p,q)$-Taylor formulas

P. Njionou Sadjang|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 84

ひとこと要約

本稿は$(p,q)$-微積分の基本定理を確立し、新規の$(p,q)$-冪基底を用いて多項式の2つの$(p,q)$-テイラー公式を導出する。$(p,q)$-微分および$(p,q)$-積分作用素を定義し、収束条件を証明し、$(p,q)$-部分積分公式を導出する。古典的および$q$-微積分の結果を一般化し、多項式展開および原始関数への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, the $(p,q)$-derivative and the $(p,q)$-integration are investigated. Two suitable polynomials bases for the $(p,q)$-derivative are provided and various properties of these bases are given. As application, two $(p,q)$-Taylor formulas for polynomials are given, the fundamental theorem of $(p,q)$-calculus is included and the formula of $(p,q)$-integration by part is proved.

研究の動機と目的

• 古典的テイラーおよび基本微積分定理を$(p,q)$-微積分枠組みへ一般化すること。
• 収束条件を伴う$(p,q)$-微分および$(p,q)$-積分作用素の定義と分析を行うこと。
• ニュートン・ライプニッツの公式（基本定理）の$(p,q)$-類似形および部分積分を確立すること。
• $(p,q)$-冪基底を用いて多項式の2つの$(p,q)$-テイラー展開を提供し、標準基底との接続公式を含むこと。
• $q$-微積分の結果をより一般な$(p,q)$-設定へ拡張すること、特に極限および収束挙動を含む。

提案手法

• $ x \neq 0 $ に対して $ D_{p,q}f(x) = \frac{f(px) - f(qx)}{(p-q)x} $ を用いて$(p,q)$-微分を定義し、$ x = 0 $ では極限定義を用いる。
• $(p,q)$-冪基底を $ (x \ominus a)_{p,q}^n = \prod_{i=0}^{n-1} (p^i x - a q^i) $ として定義し、単項式を一般化する。
• $(p,q)$-微分の基本的性質を導出する。積の法則および高階微分の公式を含む。
• 無限級数を用いて$(p,q)$-積分を定義する：$ \int_0^a f(x) d_{p,q}x = (p-q)a \sum_{k=0}^\infty q^k f(a q^k) $、収束条件を伴う。
• $(p,q)$-微積分の基本定理を証明する：$ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $、ここで $ F $ は $ f $ の原始関数である。
• $(p,q)$-部分積分公式を導出する：$ \int_a^b f(px) D_{p,q}g(x) d_{p,q}x = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b g(qx) D_{p,q}f(x) d_{p,q}x $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単項式の代わりに$(p,q)$-冪基底を用いることで、古典的テイラー公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 有限および無限区間における$(p,q)$-積分の収束を保証する条件は何か？
• RQ3 $ p \to 1 $ の極限において、$(p,q)$-微分は通常の微分とどのように関係するか？
• RQ4 ニュートン・ライプニッツの公式の$(p,q)$-類似形は何か？連続性のどの仮定のもとで成立するか？
• RQ5 $(p,q)$-微積分枠組みで一貫性のある部分積分規則を導出できるか？

主な発見

• $(p,q)$-微積分の基本定理が成立する：$ \int_a^b f(x) d_{p,q}x = F(b) - F(a) $、ただし $ F $ が $ f $ の原始関数であり、$ x = 0 $ で連続であると仮定する。
• $(p,q)$-微分は積の法則を満たす：$ D_{p,q}(f g) = f(px) D_{p,q}g + g(qx) D_{p,q}f $、これは$q$-ケースを一般化する。
• 多項式の$(p,q)$-テイラー公式は基底 $ (x \ominus a)_{p,q}^n $ を用いて導出され、係数に $ [n]_{p,q} $ および $ [n]_{p,q}! $ を含む。
• $ |f(x)| \leq M x^{\alpha} $ かつ $ \alpha > 0 $ を満たす関数に対して、$ p $ および $ q $ に関する条件下で$(p,q)$-積分は収束する。
• $(p,q)$-部分積分公式が確立され、$ b = \infty $ に対しても有効であり、古典的結果を$(p,q)$-設定へ拡張する。
• $ p \to 1 $ の極限において、すべての$(p,q)$-結果は$q$-微積分の結果に還元され、既知の$q$-理論と整合性を確認する。