[論文レビュー] On the Galois Theory of Grothendieck

Eduardo J. Dubuc, C. Sanchez de la Vega|ArXiv.org|Sep 14, 2000

History and Theory of Mathematics参考文献 3被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、プロフィニート群の連続作用のトポスを、離散群作用のトポスの極限として特徴づけることで、グローテンディークのガロア理論を圏論的に再構築する。逆極限のサイトとフィルター付き帰納極限を用い、離散群からプロフィニート群への「極限への移行」により、グローテンディークの基本定理を証明する。これにより、プロフィニート群と特定のブール的かつ局所的に連結したトポス（プロフィニート点をもつもの）との双対性が確立される。

ABSTRACT

In this paper we deal with Grothendieck's interpretation of Artin's interpretation of Galois's Galois Theory (and its natural relation with the fundamental group and the theory of coverings) as he developed it in Expose V, section 4, ``Conditions axiomatiques d'une theorie de Galois'' in the SGA1 1960/61. This is a beautiful piece of mathematics very rich in categorical concepts, and goes much beyond the original Galois's scope (just as Galois went much further than the non resubility of the quintic equation). We show explicitly how Grothendieck's abstraction corresponds to Galois work. We introduce some axioms and prove a theorem of characterization of the category (topos) of actions of a discrete group. This theorem corresponds exactly to Galois fundamental result. The theorem of Grothendieck characterizes the category (topos) of continuous actions of a profinite topological group. We develop a proof of this result as a "passage into the limit'' (in an inverse limit of topoi) of our theorem of characterization of the topos of actions of a discrete group. We deal with the inverse limit of topoi just working with an ordinary filtered colimit (or union) of the small categories which are their (respective) sites of definition. We do not consider generalizations of Grothendieck's work, except by commenting briefly in the last section how to deal with the prodiscrete (not profinite) case. We also mention the work of Joyal-Tierney, which falls naturally in our discussion. There is no need of advanced knowledge of category theory to read this paper, exept for the comments in the last section.

研究の動機と目的

• トポス理論を用いて、グローテンディークのガロア理論を圏論的言語で再定式化すること。
• プロフィニート群の連続作用のトポスが、離散群作用のトポスの極限として生じることを示すこと。
• 離散群からプロフィニート群への「極限への移行」の構成を用いて、グローテンディークの基本定理の概念的証明を提供すること。
• 公理がガロア圏を特徴づける役割と、それらとプロフィニート群との関係を明確にすること。
• 非プロフィニートの場合、すなわちプロ群や空間的群への枠組みの拡張を行い、ジョイアル＝ティアーニー理論との関係を議論すること。

提案手法

• 全射性と余極限の保存性を含む公理（E1–E6）のセットを用いて、離散群の作用のトポスを特徴づける。
• サイトのフィルター付き帰納極限を用いて、トポスの逆極限をモデル化し、圏の直接極限を避ける。
• プロフィニート群の連続作用のトポスを、離散群作用のトポスの逆極限として構成する。
• 随伴函手定理を適用し、集合への忘却函手が左随伴を持つことを示し、全射性と本質的な構造が得られることを示す。
• プロフィニート点条件（G0）が、トポスがプロフィニート群πの連続π-集合のトポスと同値であることを示す。
• 極限群をプロ群に置き換えることで、プロフィニート群を超える一般化を図り、特にコテンソル（任意積）の保存性といったより強い保存公理の必要性を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローテンディークのガロア理論は、どのように圏論的およびトポス理論的手段を用いて再構築できるか？
• RQ2 プロフィニート群の連続作用のトポスを特徴づける公理的条件は何か？
• RQ3 プロフィニート群の連続作用のトポスは、どのようにして離散群作用のトポスの極限として生じるか？
• RQ4 プロフィニート群からプロ群や空間的群に一般化する際、公理にどのような修正が必要か？
• RQ5 ジョイアル＝ティアーニーの局所的理論および空間的群に関する結果は、グローテンディークのトポス理論的ガロア理論とどのように関係するか？

主な発見

• グローテンディークの基本定理により、プロフィニート群πの連続作用のトポスは、連続π-集合のトポスと同値である。
• この定理は、サイトのフィルター付き帰納極限を用いて、圏の直接極限ではなく、離散群作用の特徴づけの極限として導かれる。
• グローテンディークの公理におけるG6)は、プロフィニート点条件のもとでは他の公理から従うため、省略可能である。
• 証明により、トポスの逆極限が、それらの定義サイトの帰納極限によって記述可能であることが示され、高度な圏論を用いずに具体的な構成が可能になる。
• 非プロフィニートの場合、群はプロ群に置き換えられ、有限性条件の代わりにコテンソル（任意積）の保存性が不可欠となる。
• 空間的群への枠組みの一般化では、古典的な位相群構造が局所的理論における双対的概念に置き換えられ、コテンソル保存性が成立するとき、連続作用のトポスはまさにこのような空間的群に対応する。