[論文レビュー] On the Gauge Aspects of Gravity

Frank Gronwald, Friedrich W. Hehl|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 1996

Relativity and Gravitational Theory参考文献 82被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、U(1) や SU(2) といった内部対称性にこれまで適用されてきたゲージ理論の原則を、並進とローレンツ変換を含む時空対称性へ拡張することで、重力のゲージ理論的枠組みを提案する。この理論は、並進群とポアンカレ群をゲージ化することにより、アインシュタイン＝カルタン理論とトランスレーションゲージ理論（テレパラレル重力）が自然に導かれることを示し、曲率とねじれを統合した計量接続重力（MAG）の形式を提示する。主な結果として、特定の条件下で一般相対性理論と等価であることが示され、計量非保存性とねじれを伴う重力場方程式に対する新たな知見が得られる。

ABSTRACT

We give a short outline, in Sec.\ 2, of the historical development of the gauge idea as applied to internal ($U(1),\, SU(2),\dots$) and external ($R^4,\,SO(1,3),\dots$) symmetries and stress the fundamental importance of the corresponding conserved currents. In Sec.\ 3, experimental results with neutron interferometers in the gravitational field of the earth, as inter- preted by means of the equivalence principle, can be predicted by means of the Dirac equation in an accelerated and rotating reference frame. Using the Dirac equation in such a non-inertial frame, we describe how in a gauge- theoretical approach (see Table 1) the Einstein-Cartan theory, residing in a Riemann-Cartan spacetime encompassing torsion and curvature, arises as the simplest gravitational theory. This is set in contrast to the Einsteinian approach yielding general relativity in a Riemannian spacetime. In Secs.\ 4 and 5 we consider the conserved energy-momentum current of matter and gauge the associated translation subgroup. The Einsteinian teleparallelism theory which emerges is shown to be equivalent, for spinless matter and for electromagnetism, to general relativity. Having successfully gauged the translations, it is straightforward to gauge the four-dimensional affine group $R^4 \semidirect GL(4,R)$ or its Poincaré subgroup $R^4\semidirect SO(1,3)$. We briefly report on these results in Sec.\ 6 (metric-affine geometry) and in Sec.\ 7 (metric-affine field equations ( ef{zeroth}, ef{first}, ef{second})). Finally, in Sec.\ 8, we collect some models, currently under discussion, which bring life into the metric-affine gauge framework developed.

研究の動機と目的

• 内部対称性（例：U(1) やヤン＝ミルズ理論）に成功したゲージ原理を、並進やローレンツ変換といった外部時空対称性へ拡張すること。
• アインシュタインの幾何学的重力理論と、局所対称性原理に基づくゲージ理論的アプローチとの間の概念的・数学的差異を明確にすること。
• ポアンカレ群の並進部分群をゲージ化することにより、アインシュタイン＝カルタン理論とテレパラレル重力が自然に導かれるようにすること。
• 曲率、ねじれ、計量非保存性を独立した幾何的場として含む、一貫性のある計量接続重力（MAG）の枠組みを構築すること。
• 特にスピン系およびスカラー場などの物質場を含む状況下での、重力のゲージ理論の物理的意味と場の方程式を調査すること。

提案手法

• 等価原理を介して、加速系および回転系のディラック方程式を用いて、中性子干渉実験をモデル化し、量子効果と重力場との関係を結びつける。
• ウティヤマ＝サイアマ＝キッブ法を用いて並進群をゲージ化し、並進ゲージポテンシャルを導入し、対応する場の強度（ねじれ）を導出する。
• 並進ゲージ場のラグランジアンを構築し、アインシュタイン的テレパラレル主義が得られることを示し、スピンのない物質および電磁気学と一般相対性理論とで等価であることを示す。
• アフィン群 $ R^4 \rtimes GL(4,R) $ へのゲージ手続きの拡張により、計量、接続、曲率が独立した計量接続重力（MAG）が得られ、計量非保存性とねじれを含む。
• 曲率、ねじれ、計量非保存性を含む一般ラグランジアンから、コフレーム、接続、計量に関する変分原理を用いてMAGの場の方程式を導出する。
• 共形対称性を有するウェイリータイプのモデルを含む、アインシュタイン＝カルタン理論、ポアンカレゲージ理論（PG）、およびウェイリータイプのモデルを分析し、ウェイリーワンフォームの役割とドレイトン場への結合を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部対称性に開発されたゲージ理論の原則を、重力における並進やローレンツ変換といった時空対称性に一貫して適用する方法は何か？
• RQ2 並進群をゲージ化した場合にどのような重力理論が導かれるか？ 一般相対性理論やテレパラレル重力とどのように関係するか？
• RQ3 曲率、ねじれ、計量非保存性を独立した幾何的自由度として含む計量接続ゲージ理論の場の方程式と物理的意味は何か？
• RQ4 アインシュタイン＝カルタン理論、ポアンカレゲージ理論、ウェイリータイプの重力は、幾何学的構造および物理的内容においてどのように異なるか？
• RQ5 ゲージ理論的枠組みにおいてウェイリーワンフォームは果たす役割は何か？ また、ゲージ不変性を保ちながら物質場に一貫して結合するにはどうすればよいか？

主な発見

• 並進群をゲージ化すると、非ゼロのねじれを持つ理論が得られ、アインシュタイン＝カルタン重力となる。これはスピンのない物質および電磁気学において一般相対性理論と等価である。
• 並進ゲージ化から導かれるアインシュタイン的テレパラレル主義は、スピノル場が存在しない状況で一般相対性理論と古典的に等価であることが示された。
• 完全なポアンカレ群のゲージ化により、曲率とねじれを動的場として含む一般相対性理論の一般化であるポアンカレゲージ理論（PG）が得られた。
• 計量、接続、曲率が独立である計量接続重力（MAG）の枠組みが一貫して確立され、計量非保存性とねじれが基本的な幾何的構造として扱えるようになった。
• ラグランジアンにウェイリーワンフォームを含めることで、共形対称性を有する理論が得られ、ドレイトン場による結合により対称性が破れ、質量のある重力セクターが得られる。場の方程式は (142)–(145) の形で導出された。
• ウェイリータイプの場とドレイトン場を含むモデル（ラグランジアン 147）は、高エネルギー領域で共形不変性を保ち、低エネルギー有効理論として質量モードを生成する。これは重力におけるスピンオフ対称性の自発的破れのメカニズムを示唆している。