[論文レビュー] On the Gauss-Manin connection in cyclic homology

Boris Tsygan|ArXiv.org|Jan 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、DGLAのねじれ普遍包あらゆる代数上の$L_\infty$-加群構造を用いて、周期的循環ホモロジーにおけるガウス＝マニン接続を、周期的循環チェーン複体のレベルで明示的に構成する。主な貢献は、$\mathfrak{g}_A^\bullet[u,\epsilon]$ から負の循環複体の自己準同型への$L_\infty$-準同型を介した、アソシエータに依存しない、自然な接続の構成であり、これにより$\operatorname{HC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A)$ 上でゲツラーの平坦接続が得られる。

ABSTRACT

We define Getzler's Gauss-Manin connection in cyclic homology at the level of chains and outline some relations of this construction to noncommutative calculus.

研究の動機と目的

• 周期的循環ホモロジーにおけるゲツラーのガウス＝マニン接続を、コホモロジーではなくチェーンのレベルで定義すること。
• 負の循環チェーン複体$\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上に、明示的かつ$K[[u]]$-線形的、$(u)$-adicに連続な$L_\infty$-加群構造を構成すること。
• ドリンフェルトのアソシエータに依存しない、自然な構成法を提供すること。
• $(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 上の基礎となる$\operatorname{Calc}_\infty$代数構造と、$\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上の$A_\infty$-加群構造との関係を確立すること。

提案手法

• 形式的変数$u$（次数$-2$）と$\epsilon$（次数$1$）を含むDGLA$({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$を定義する。
• $\phi_n$ の明示的公式を用いて、このDGLA上での$\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ における$L_\infty$-加群構造を構成する。
• HochschildコチェーンDGA$C^\bullet(A)$ の負の循環複体$\operatorname{CC}_\bullet^{-}(C^\bullet(A))$ を用い、これは$A_\infty$-代数構造を持つ。
• 普遍包あらゆる代数$U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ に quasi-isomorphic なDG代数として、ねじれバーバー複体$B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ を導入する。
• $B^{\operatorname{tw}}$ から$\operatorname{End}_{K[[u]]}(\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A))$ への連鎖的 quasi-isomorphism を確立し、これにより$A_\infty$-準同型、ひいては$L_\infty$-準同型を導出する。
• 得られた$L_\infty$-準同型を用いて、$\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$ 上の全次数1の自己準同型としてガウス＝マニン接続を定義する：$\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的循環ホモロジーにおけるガウス＝マニン接続を、コホモロジーではなくチェーンのレベルで直接構成できるか？
• RQ2 $u$ と $\epsilon$ を含むDGLA上での負の循環複体上の$L_\infty$-加群構造に対して、アソシエータに依存しない自然な構成法が存在するか？
• RQ3 $\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上の$A_\infty$-加群構造は、$(C^\bullet(A), C_\bullet(A))$ 上の基礎となる$\operatorname{Calc}_\infty$代数構造とどのように関係しているか？
• RQ4 $L_\infty$-加群構造は、DGLAの普遍包あらゆる代数に quasi-isomorphic なねじれバーバー複体として実現可能か？

主な発見

• 本稿は、DGLA$({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon], \delta + u\partial/\partial\epsilon)$ 上に、$K[[u]]$-線形的かつ$(u)$-adicに連続な自然な$L_\infty$-加群構造を$\operatorname{CC}_\bullet^{-}(A)$ 上に構成する。
• $\mathfrak{g}_A^\bullet$ 上の誘導された$L_\infty$-加群構造は、標準的なリー微分$L_D$ による作用を回復する。
• ねじれバーバー複体$B^{\operatorname{tw}}({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ をDG代数として導入し、これは$U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ に quasi-isomorphic である。
• $\epsilon E_1 \wedge \cdots \wedge \epsilon E_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma} (\epsilon E_{\sigma_1}) E_{\sigma_2} \cdots E_{\sigma_n}$ により定義される写像は、$B^{\operatorname{tw}}$ から$U({\mathfrak{g}}^\bullet_A[u,\epsilon])$ への quasi-isomorphism を定義する。
• ガウス＝マニン接続は、全次数1の自己準同型$\Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A)) \to \Omega^\bullet(S, \operatorname{CC}_\bullet^{\operatorname{per}}(A))$ として実現され、$\omega \mapsto d\omega + \sum_{n=1}^\infty \frac{u^{-n}}{n!} \phi_n(\theta,\dots,\theta)$ で与えられる。ここで$\theta(X)(s) = L_X m_s \epsilon$ である。
• 従来の手法とは異なり、ドリンフェルトのアソシエータに依存せず、以前の研究よりも明示的かつ自然な枠組みを提供する。