[論文レビュー] On the general homogenization and Gamma-closure for the equations of von Kármán plate from 3 D nonlinear elasticity

Igor Velčić|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Γ収束を用いて3次元非線形弾性から均質化 von Kármán プレートモデルを導出し、従来の周期的均質化結果を一般化している。Γ閉包の局所性を証明し、n 種類の材料を混合して得られるエネルギー密度が、すべて周期的均質化系列の点ewise極限として表せることを示している。

ABSTRACT

Starting from 3D elasticity equations we derive the model of the homogenized von Karman plate by means of Γ-convergence. This generalizes the recent results, where the material oscillations were assumed to be periodic. We also prove the locality of Γ-closure i.e. that every energy density obtained in this way by mixing n different materials is at almost every point of domain limit of some sequence of the energy densities obtained by periodic homogenization.

研究の動機と目的

• Γ収束を用いて、周期的材料の均質化結果を一般の周期的でない材料へ拡張する。
• 非周期的で不均質な材料における均質化エネルギー密度の数学的基盤を確立する。
• n 種類の材料を混合して得られるエネルギー密度が、すべて周期的均質化系列の点wise極限として表せることを証明する。
• 非周期的設定においても、非線形弾性における Γ 閉包概念を一般化する。

提案手法

• Γ収束を用いて、3次元非線形弾性方程式から均質化 von Kármán プレートモデルを導出する。
• 変分法を用いて、一般の周期的でない材料分布下での極限エネルギー汎関数を特徴付ける。
• Γ極限の理論を応用して、n 種類の材料の混合におけるエネルギー密度の閉包性を分析する。
• 任意の混合エネルギー密度が周期的均質化問題の系列によって点wise収束することを構成することで、Γ 閉包の局所性を確立する。
• Sobolev 空間におけるコンパクト性および下界半連続性の性質を活用して、Γ極限の収束を保証する。
• von Kármán 汎関数の構造を活用し、3次元弾性から2次元プレートモデルへの均質化極限における接続を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的材料の振動を仮定せずに、von Kármán プレートモデルを3次元非線形弾性から導出できるか？
• RQ2 非周期的で不均質な材料におけるエネルギー密度の Γ 閉包はどのように振る舞うか？
• RQ3 n 種類の材料を混合して得られるエネルギー密度が、すべて周期的均質化系列の点wise極限として表せるか？
• RQ4 非線形弾性の文脈において、一般の均質化と周期的均質化の関係は何か？
• RQ5 エネルギー密度の Γ 閉包は、均質化極限において局所性を保つのか？

主な発見

• Γ収束を用いて、一般の周期的でない材料に対して、3次元非線形弾性から均質化 von Kármán プレートモデルを厳密に導出した。
• エネルギー密度の Γ 閉包が、周期的均質化系列の極限として局所的に表現可能であることを証明し、Γ 閉包の局所性を示した。
• n 種類の異なる材料を混合して得られるエネルギー密度は、すべて周期的均質化問題の系列の点wise極限として表せる。
• 材料の振動に周期性を仮定しないことで、従来の周期的均質化結果を一般化した。
• 均質化エネルギー汎関数の収束は Γ 極限の意味で確立され、モデルの安定性と一貫性が保証された。
• 解析により、von Kármán 汎関数の構造が一般の均質化のもとでも保存されることを確認し、複雑なマイクロ構造を有する薄板の有効なモデル化が可能となった。