[論文レビュー] On the General Structure of Hamiltonian Reductions of the Wznw Theory

L. Fehér, L. O’Raifeartaigh+3 more|ArXiv.org|Dec 22, 1991

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、第一級の Kac-Moody 約束を用いた WZNW 理論のハミルトニアン還元の一般枠組みを確立し、還元理論における正確な可積分性、共形不変性、W対称性の条件を導出する。パス積分および BRST 量子化を可能にするゲージ化 WZNW 形式のラグランジアンを構成し、sl(2) を単純リー代数に埋め込むことによって W代数が生じることを示し、これにより W_n^l 代数と一般化 Toda 理論が統一的に還元されることを明らかにする。

ABSTRACT

The structure of Hamiltonian reductions of the Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) theory by first class Kac-Moody constraints is analyzed in detail. Lie algebraic conditions are given for ensuring the presence of exact integrability, conformal invariance and $\cal W$-symmetry in the reduced theories. A Lagrangean, gauged WZNW implementation of the reduction is established in the general case and thereby the path integral as well as the BRST formalism are set up for studying the quantum version of the reduction. The general results are applied to a number of examples. In particular, a ${\cal W}$-algebra is associated to each embedding of $sl(2)$ into the simple Lie algebras by using purely first class constraints. The importance of these $sl(2)$ systems is demonstrated by showing that they underlie the $W_n^l$-algebras as well. New generalized Toda theories are found whose chiral algebras are the ${\cal W}$-algebras belonging to the half-integral $sl(2)$ embeddings, and the ${\cal W}$-symmetry of the effective action of those generalized Toda theories associated with the integral gradings is exhibited explicitly.

研究の動機と目的

• 第一級の Kac-Moody 約束を用いた WZNW 理論のハミルトニアン還元の一般的リー代数的枠組みを構築すること。
• 還元理論が正確な可積分性、共形不変性、W 対称性を示すために必要なリー代数構造の必要十分条件を特定すること。
• パス積分および BRST 量子化を可能にするラグランジアン形式のゲージ化 WZNW 形式を構築すること。
• W 代数（W_n^l および一般化 Toda 理論を含む）が、単純リー代数への sl(2) 埋め込みから自然に生じることを示すこと。
• 古典的リー代数（A_l, B_l, C_l, D_l）における H-適合 sl(2) 埋め込みおよび半分割り（halvings）を分類し、それらが一貫した W 対称性を生成する役割を特定すること。

提案手法

• sl(2) 埋め込みによるリー代数の階化を用いて、WZNW 遷移空間における第一級で共形不変性を持つ Kac-Moody 約束の条件を導出する。
• 第一級の約束を実装するためにゲージ場を導入することで、制約付き WZNW 理論のラグランジアン形式を構築する。
• ディラック＝ベルグマンの約束量子化手順を適用し、有効な物理ハミルトニアンおよびポアソン括弧構造を導出する。
• ディラック括弧の多項式性を用いて、還元された位相空間におけるチャーラル W 代数構造を特定する。
• 制約付き系に BRST 形式を適用し、量子パス積分を構築し、量子異常を分析する。
• テンソルおよびスピンル表現における計量形式の直交性および非退化性条件を課すことにより、H-適合 sl(2) 埋め込みおよび半分割りの構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 WZNW 理論のハミルトニアン還元が正確に可積分で、共形不変性を持ち、W 対称性を示すために必要なリー代数的条件は何か？
• RQ2 一般の場合において、ハミルトニアン還元を実現するための、ラグランジアン形式のゲージ化 WZNW 形式を体系的に構築する方法は何か？
• RQ3 W_n^l 代数と単純リー代数への sl(2) 埋め込みから生じる W 代数との明確な関係は何か？
• RQ4 A_l, B_l, C_l, D_l の古典的リー代数へのどの sl(2) 埋め込みが H-適合な半分割りを許容し、一貫した W 対称性を生成するか？
• RQ5 一般化 Toda 理論はどのように WZNW 還元から生じるのか？ また、その有効作用における W 対称性の明示的実現は何か？

主な発見

• 本稿は、第一級で共形不変性を持つ Kac-Moody 約束を用いた WZNW 理論のハミルトニアン還元によって W 代数が生成されることを確立している。
• WZNW → Toda 還元において、還元理論のチャーラル代数は、sl(2) 埋め込みに関連する W 代数と同型であり、リー代数のカシミール作用素によって決定される共形次元を持つ。
• 半整数スピンの sl(2) 埋め込みに対応する一般化 Toda 理論は、チャーラル代数が W 代数と同型であり、その有効作用において W 対称性が明示的に現れる。
• H-適合な sl(2) 埋め込みは、特定の表現多重度および双対性条件を満たす場合にのみ存在する：C_l では、スピンル表現がシンプレクティック双対ペアとして、多重度 2 で現れなければならない。D_l では、テンソル表現が直交双対ペアとして、多重度 2 で現れなければならない。
• H-適合な半分割り条件は、テンソル上で ad_H = ad_M0 が成り立つ必要があり、これにより許容される埋め込みが制限される。B_l, C_l, D_l における整数スピンの sl(2) 埋め込みのみが半分割りを許容し、D_l においては基本表現に2つの単位表現が存在する特定の埋め込みのみが条件を満たす。
• 還元系に対して BRST 形式が構築され、2つの具体例においてバーチャル・スカラーの中心的項が明示的に計算され、既知の量子 W 代数の結果と整合することが確認された。