[論文レビュー] On the Generalised Colouring Numbers of Graphs that Exclude a Fixed Minor

Jan van den Heuvel, Patrice Ossona de Mendez+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、固定されたマイナーを含まないグラフにおける一般化彩色数 colr(G) および wcolr(G) に対して、タイトな線形および多項式上界を確立し、以前の指数関数的上界を顕著に改善している。マイナー閉じた族における辞書式幅優先探索木と構造的グラフ性質を活用することで、Kt-マイナーを含まないグラフに対して colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1) および wcolr(G) ≤ O(rt−1) を証明した。平面的および有界 genus グラフに対しては、よりタイトな上界が得られる。

ABSTRACT

The generalised colouring numbers $\mathrm{col}_r(G)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)$ were introduced by Kierstead and Yang as a generalisation of the usual colouring number, and have since then found important theoretical and algorithmic applications. In this paper, we dramatically improve upon the known upper bounds for generalised colouring numbers for graphs excluding a fixed minor, from the exponential bounds of Grohe et al. to a linear bound for the $r$-colouring number $\mathrm{col}_r$ and a polynomial bound for the weak $r$-colouring number $\mathrm{wcol}_r$. In particular, we show that if $G$ excludes $K_t$ as a minor, for some fixed $t\ge4$, then $\mathrm{col}_r(G)\le\binom{t-1}{2}\,(2r+1)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\binom{r+t-2}{t-2}\cdot(t-3)(2r+1)\in\mathcal{O}(r^{\,t-1})$. In the case of graphs $G$ of bounded genus $g$, we improve the bounds to $\mathrm{col}_r(G)\le(2g+3)(2r+1)$ (and even $\mathrm{col}_r(G)\le5r+1$ if $g=0$, i.e. if $G$ is planar) and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\Bigl(2g+\binom{r+2}{2}\Bigr)\,(2r+1)$.

研究の動機と目的

• Grohe らによって以前に確立された、固定されたマイナーを含まないグラフにおける一般化彩色数の指数的上界を改善すること。
• 特に平面的および有界 genus グラフに対して、Kt-マイナーを含まないグラフにおける colr(G) および wcolr(G) のタイトで明示的な上界を提供すること。
• 一般化彩色数と木深さ、木幅、 genus などの構造的グラフパラメータとの関係を確立すること。
• これらの上界が、非巡回彩色数などの関連するグラフ不変量に対し、改善された結果をもたらすことを示すこと。
• 辞書式幅優先探索順序とマイナー除外性質を活用することで、スパースグラフクラスにおける既存の上界を精緻化すること。

提案手法

• 半径 r 内の到達可能性を制御できる頂点順序を定義するために、辞書式幅優先探索（LexBFS）木を用いる。
• 構造的グラフ理論を適用し、LexBFS 順序下で任意の頂点 u から強く r-到達可能な頂点数の上限を求める。
• 最大平面的グラフにおける親パス（Pa, Pb, Pc）を用いたパス分離の議論により、r-近傍のサイズを制約する。
• LexBFS で前に発見された頂点は順序が低いため、到達可能性集合に対する帰納的制御が可能になることを利用する。
• BFS 木における帰納的およびレベル別解析を用い、NGr[u] ∩ V(Pa)、V(Pb)、および V(Pu) に含まれる頂点数を上限付ける。
• 特に平面的グラフにおける内部面と外側面を区別することで、頂点 u の親が属する面に関する場合分けを用いて上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたマイナーを含まないグラフにおける r-彩色数 colr(G) のタイトな上界は何か？
• RQ2 これらの上界は、除外されるマイナー、特に完全グラフ Kt にどのように依存するか？
• RQ3 Kt-マイナーを含まないグラフにおいて、弱い r-彩色数 wcolr(G) は r に対して多項式的上界で抑えられるか？
• RQ4 平面的または有界 genus グラフなどの特別なグラフクラスでは、上界はどのように改善されるか？
• RQ5 これらの上界は、非巡回彩色数などの関連不変量に対して、既存の上界をどの程度改善するか？

主な発見

• 任意の Kt-マイナーを含まないグラフ G について、t ≥ 4 ならば colr(G) ≤ (t−1)/2 · (2r + 1) が成り立ち、これは r に関する線形上界である。
• 同じクラスにおいて、wcolr(G) ≤ (r+t−2 choose t−2) · (t−3)(2r + 1) が成り立ち、これは O(rt−1) であり、r に関する多項式上界である。
• 平面的グラフ（genus g = 0）では、colr(G) ≤ 5r + 1 であり、r = 1 のときこの上界はタイトである。
• genus g のグラフに対しては、colr(G) ≤ (4g + 5)r + 2g + 1 が成り立ち、以前の指数的上界を改善する。
• 平面的グラフでは、wcolr(G) ≤ (r+2 choose 2) · (2r + 1) が成り立ち、これは O(r³) であり、r = 1 のときこの上界もタイトである。
• Kt-マイナーを含まないグラフの非巡回彩色数は、O(t²) で抑えられ、以前の O(t² log²t) の上界を改善した。