[論文レビュー] On the generalization of the Lambert $W$ function with applications in theoretical physics

Istvan Mezýo, Árpád Baricz|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2014

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理関数を扱えるように一般化されたラマヌジャン・ウ・関数を定義し、古典的ラマヌジャン・ウ関数を拡張する。この関数は、$ e^x \frac{(x-t_1)(x-t_2)\cdots(x-t_n)}{(x-s_1)(x-s_2)\cdots(x-s_m)} $ の逆関数として定義され、ラゲール多項式およびベッセル多項式を含むテイラー級数展開が導出され、特定のケースにおける収束性が確立され、組合せ論および理論物理学への応用のための新しい逆関数が提示される。

ABSTRACT

The Lambert $W$ function, giving the solutions of a simple transcendental equation, has become a famous function and arises in many applications in combinatorics, physics, or population dyamics just to mention a few. In the last decade it turned out that some specific relativistic equations and molecular physics problems need solutions of more general transcendental equations. Thus a generalization of the Lambert function is necessary. In this paper we construct this generalization which involves some special polynomials.

研究の動機と目的

• 組合せ論および理論物理学に現れる超越方程式を解くために、古典的ラマヌジャン・ウ関数を一般化すること。
• $ e^x \frac{\prod (x-t_i)}{\prod (x-s_j)} $ の多価逆関数を定義し、$ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t_1\dots t_n}{s_1\dots s_m};a\right) $ と表記することで、より広範な応用性を実現すること。
• 特に $ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t}{s};a\right) $ および $ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t_1 t_2}{};a\right) $ の場合に、直交多項式を用いて明示的なテイラー級数展開を導出すること。
• 一般化された関数の収束性および漸近的挙動を調査し、特に r-ラマヌジャン・ウ関数 $ W_r(x) $ について検討すること。
• ラゲール多項式およびベッセル多項式などの特殊関数との関係を明らかにし、係数に組合せ論的解釈が可能かどうかを検討すること。

提案手法

• $ f(x) = e^x \frac{(x-t_1)\cdots(x-t_n)}{(x-s_1)\cdots(x-s_m)} $ の逆関数として一般化ラマヌジャン・ウ関数を定義し、$ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t_1\dots t_n}{s_1\dots s_m};a\right) $ と表記し、$ f(x) = a $ を満たすものとする。
• ラグランジュ逆定理を適用して、$ a=0 $ の周りにおける $ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t}{s};a\right) $ のテイラー級数を導出し、その係数をラゲール多項式の微分で表現する。
• 2つの上パラメータを持つ場合、ベッセル多項式 $ B_n(z) $ を含む級数展開を導出し、その係数は $ t_1, t_2 $ およびパラメータ $ T = t_2 - t_1 $ に依存する。
• r-ベル数の漸近的性質に由来する方程式 $ xe^x + rx = n $ を、$ e^{-cx} = a_0 \frac{x-t}{x-s} $ の形に変換し、新規関数クラスと関連付ける。
• 導出された級数の収束半径を分析し、特に r-ラマヌジャン・ウ関数では $ r = -2 $ の場合にのみ収束半径を明示的に決定可能であることに注目する。
• 実数分岐の r-ラマヌジャン・ウ関数の数値計算を、オンラインで利用可能な C 言語実装により提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ e^{-cx} = a_0 \frac{(x-t_1)\cdots(x-t_n)}{(x-s_1)\cdots(x-s_m)} $ の形の式を解くために、古典的ラマヌジャン・ウ関数をどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化ラマヌジャン・ウ関数のテイラー級数展開はどのようなものか？ また、その係数にラゲール多項式やベッセル多項式などの特殊関数が現れるか？
• RQ3 一般化ラマヌジャン・ウ関数のテイラー級数の収束半径、特に r-ラマヌジャン・ウ関数 $ W_r(x) $ においてはどのようになるか？
• RQ4 一般化ラマヌジャン・ウ関数を用いて、r-ベル数および関連する組合せ論的数列のより正確な漸近的近似を導出できるか？
• RQ5 一般化ラマヌジャン・ウ関数の複素数分岐構造はどのようなものか？ また、古典的ラマヌジャン・ウ関数の既知の多価性をどのように拡張するか？

主な発見

• $ a=0 $ の周りにおける $ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t}{s};a\right) $ のテイラー級数は、$ t - T\sum_{n=1}^{\infty} \frac{L_n'(nT)}{n} e^{-n t} a^n $ で与えられ、ここで $ T = t - s $、$ L_n' $ は第 $ n $ 個のラゲール多項式の微分である。
• 2パラメータの場合の級数展開は、$ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t_1 t_2}{};a\right) = t_1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n n!} \left( \frac{a n e^{-t_1}}{T} \right)^n B_{n-1}\left( \frac{-2}{nT} \right) $ であり、$ T = t_2 - t_1 $、ベッセル多項式 $ B_n(z) $ を含む。
• $ W_r(x) $、すなわち $ e^x (x)^r $ の逆関数として定義される r-ラマヌジャン・ウ関数は、$ x \to 0 $ のとき $ W_r(x) \to 0 $ を満たすが、一般には収束速度は不明である。
• $ W_r(x) $ のテイラー級数の収束半径は、$ r = -2 $ の場合にのみ明示的に決定可能であり、一般の公式は提示されていない。
• 一般化関数 $ W\left(\genfrac{}{}{0pt}{}{t_1 t_2}{};a\right) $ は、スコット＝マン＝マルティネスの積公式よりもより正確な解を与える。後者は特定のパrameter領域ではすべての実数解を捉えきれない。
• 本稿では、著者ウェブサイトで公開されている C 言語実装により、r-ラマヌジャン・ウ関数の実数分岐の数値計算が可能であり、一般化関数の数値的探索を可能にする。