[論文レビュー] On the generalization some intgeral inequalities and their applications

Mehmet Zeki Sarıkaya, Nesip Aktan|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、凸関数に対する一般化された積分恒等式を導出し、その恒等式を用いて、2階微分の絶対値が凸である関数に対するシンプソン型およびエルミート・アダマール型の新しい不等式を確立する。主な貢献は、パラメータ λ を用いて中点、台形、シンプソン型不等式を特殊ケースとして回復できる統一的な枠組みを提供することであり、2階微分の絶対値の Lq-ノルムを含む鋭い誤差評価が得られる。

ABSTRACT

In this paper, a general integral identity for convex functions is derived. Then, we establish new some inequalities of the Simpson and the Hermite-Hadamard's type for functions whose absolute values of derivatives are convex. Some applications for special means of real numbers are also provided.

研究の動機と目的

• 中点、台形、シンプソン型不等式を統一するパラメータ λ ∈ [0,1] を含む凸関数に対する一般積分恒等式を導出すること。
• 2階微分の絶対値が凸である場合の求積法の誤差評価を確立すること。
• シンプソンおよびエルミート・アダマール不等式に関する既存の結果を、2階微分の Lq-ノルムを組み込むことで一般化すること。
• 導出した不等式を用いて、実数の特殊平均への応用を提供すること。
• 既存の凸関数の積分不等式に関する文献の結果を統一的かつ拡張すること。

提案手法

• パラメータ λ ∈ [0,1] を含む一般積分恒等式を導出し、関数 f の積分と端点・中点における関数値との関係を核関数 k(t) を用いて記述する。
• λ に応じて [0,1/2] および [1/2,1] で定義される区分的核関数 k(t) を導入し、積分と求積近似との差を表現する。
• 積分表現にホルダーの不等式を適用し、|f''| の Lq-ノルムを用いた誤差の上界を導出する。
• |f''| の凸性を用いて、|f''(a)|^q と |f''(b)|^q の重み付き組み合わせを含む明示的な上界を導出する。
• λ = 0（中点）、λ = 1（台形）、λ = 1/3（シンプソン）の場合に一般不等式を特殊化し、既知および新しい不等式を回復する。
• f(x) = x^n や f(x) = 1/x などの特定の凸関数を用いて、算術平均、幾何平均、調和平均、対数平均、対数的平均などの特殊平均に関する新しい不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、凸関数に対するシンプソン型およびエルミート・アダマール型不等式を一般化する統一的枠組みを開発できるか？
• RQ2 パラメータ λ は、中点、台形、シンプソン則を1つの積分恒等式でどのように結びつけるか？
• RQ3 2階微分の絶対値の Lq-ノルムは、求積近似の誤差評価にどのように影響するか？
• RQ4 導出した不等式を用いて、実数の特殊平均の間の新しい関係を確立できるか？
• RQ5 |f''| が凸である場合、シンプソン、中点、台形則の鋭い誤差評価は何か？

主な発見

• 凸関数に対する一般積分恒等式により、パラメータ λ を用いた統一的な求積法の誤差評価が導出可能である。
• λ = 0 の場合、中点不等式が得られ、次の評価が成り立つ：|∫ₐᵇ f(x)dx / (b−a) − f((a+b)/2)| ≤ (b−a)²/48 × [ (3|f''(a)|^q + 5|f''(b)|^q)/8 ]^{1/q} + [ (5|f''(a)|^q + 3|f''(b)|^q)/8 ]^{1/q}。
• λ = 1 の場合、台形不等式が得られ、次の評価が成り立つ：|∫ₐᵇ f(x)dx / (b−a) − (f(a)+f(b))/2| ≤ (b−a)²/24 × [ (5|f''(a)|^q + 11|f''(b)|^q)/16 ]^{1/q} + [ (11|f''(a)|^q + 5|f''(b)|^q)/16 ]^{1/q}。
• λ = 1/3 の場合、シンプソン不等式が導出され、次の評価が成り立つ：|(1/6)(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)) − ∫ₐᵇ f(x)dx / (b−a)| ≤ (b−a)²/162 × [ (59|f''(a)|^q + 133|f''(b)|^q)/(3·2⁶) ]^{1/q} + [ (133|f''(a)|^q + 59|f''(b)|^q)/(3·2⁶) ]^{1/q}。
• p-対数平均に関する不等式が確立された：|(1/3)A(aⁿ,bⁿ) + (2/3)Aⁿ(a,b) − Lₙⁿ(a,b)| ≤ n(n−1)(b−a)²/168 × (aⁿ⁻² + bⁿ⁻²) for n > 2。
• 逆調和平均および逆算術平均に関して、f(x) = 1/x に中点および台形不等式を適用することで、|L⁻¹(a,b) − A⁻¹(a,b)| および |L⁻¹(a,b) − H⁻¹(a,b)| の評価が得られた。