[論文レビュー] On the generalized distance spectral radius of graphs

Shu‐Yu Cui, Gui‐Xian Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Graph theory and applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ 0 \leq \alpha \leq 1 $ に対して $ D_{\beta}(G) = \alpha \operatorname{Tr}(G) + (1-\alpha)D(G) $ で定義される一般化された距離スペクトル半径（行列の最大固有値）をもつ連結グラフの一般化を調査している。固定された彩色数をもつ連結グラフ、$ n $ 頂点の木、およびユニサイクリックグラフにおいて、このスペクトル半径を最小化する一意なグラフを同定し、既知の距離および距離符号なしラプラシアンスペクトル半径に関する結果を統一的に一般化している。

ABSTRACT

The generalized distance spectral radius of a connected graph $G$ is the spectral radius of the generalized distance matrix of $G$, defined by $$D_α(G)=αTr(G)+(1-α)D(G), \;\;0\leα\le 1,$$ where $D(G)$ and $Tr(G)$ denote the distance matrix and diagonal matrix of the vertex transmissions of $G$, respectively. This paper characterizes the unique graph with minimum generalized distance spectral radius among the connected graphs with fixed chromatic number, which answers a question about the generalized distance spectral radius in spectral extremal theories. In addition, we also determine graphs with minimum generalized distance spectral radius among the $n$-vertex trees and unicyclic graphs, respectively. These results generalize some known results about distance spectral radius and distance signless Laplacian spectral radius of graphs.

研究の動機と目的

• 固定された彩色数 $ r \geq 3 $ をもつ $ n $ 頂点の連結グラフの中で、一般化された距離スペクトル半径を最小化する一意なグラフを特定すること。これは、スペクトル極値グラフ理論における未解決問題を解消する。
• すべての $ n $ 頂点の木およびユニサイクリックグラフの中で、$ 0 \leq \alpha \leq 1 $ に対して一般化された距離スペクトル半径を最小化する一意なグラフを同定すること。これにより、距離および距離符号なしラプラシアンスペクトル半径に関する既知の結果が拡張される。
• 彩色数を用いて一般化された距離スペクトル半径の下界を確立すること。これにより、距離および距離符号なしラプラシアンスペクトルに対する既存の下界が一般化される。
• 一般化された距離行列 $ D_\alpha(G) $ を導入することで、$ D(G) $、$ D^Q(G) $、および $ \operatorname{Tr}(G) $ の間を補間するように動作する。これにより、既存の極値結果を統合・一般化する。

提案手法

• 一般化された距離行列 $ D_\alpha(G) = \alpha \operatorname{Tr}(G) + (1-\alpha)D(G) $ を定義する。ここで $ \operatorname{Tr}(G) $ は頂点伝送行列（対角行列）、$ D(G) $ は距離行列を表す。
• 行列 $ D_\alpha(G) $ のスペクトル半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ を一般化された距離スペクトル半径として用い、固有値のインタリーシングおよび行列摂動技法を用いてその極値を分析する。
• 等分分割に対する商行列法を適用し、$ \rho_{D_\alpha}(S_n) $ および $ \rho_{D_\alpha}(S_n^+) $ を特徴多項式を用いて正確に計算する。
• トレースおよび伝送和を用いて $ \rho_{D_\alpha}(G) $ の下界を確立する。ここで $ \rho_{D_\alpha}(G) \geq \frac{2W(G)}{n} $ が成り立ち、$ W(G) $ は伝送和を表す。
• $ \alpha \in [0,1] $ における連続性の議論と、特に $ \alpha = 0 $ および $ \alpha = 1 $ の近傍での固有値の比較を用いて、特定のグラフが最小であることを証明する。
• $ \alpha = 0 $（距離スペクトル半径）および $ \alpha = \frac{1}{2} $（距離符号なしラプラシアンスペクトル半径）における既知の極値結果を基準ケースとして用い、一般化の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された彩色数 $ r \geq 3 $ をもつ $ n $ 頂点の連結グラフの中で、$ 0 \leq \alpha \leq 1 $ に対して一般化された距離スペクトル半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ を最小化するグラフはどれか？
• RQ2 $ n $ 頂点の木の中で $ \rho_{D_\alpha}(G) $ を最小化する一意な木は何か？ これは $ \alpha = 0 $ の場合に既知の結果をどのように一般化するか？
• RQ3 一般化された距離スペクトル半径を最小化する一意なユニサイクリックグラフは何か？ また、$ \alpha \in [0,1] $ のどの範囲で、三角形をもつ星グラフ $ S_n^+ $ がこの最小値を達成するか？
• RQ4 彩色数 $ r $ を用いて $ \rho_{D_\alpha}(G) $ の下界を確立できるか？ また、等号成立条件は何か？
• RQ5 $ \alpha $ が変化する際、一般化された距離スペクトル半径 $ \rho_{D_\alpha}(G) $ はどのように振る舞うか？特に $ \alpha = 0 $ および $ \alpha = 1 $ の近傍でどうなるか？

主な発見

• $ n $ 頂点の木としての星グラフ $ S_n $ は、一般化された距離スペクトル半径 $ \rho_{D_\alpha}(S_n) $ を最小化する一意なグラフである。このスペクトル半径は、二次方程式 $ \rho^2 - (\alpha n + 2n - 4)\rho + (n-1)(2\alpha n - 2\alpha - 1) = 0 $ の最大固有値として与えられる。
• $ n \geq 6 $ の場合、$ S_n^+ $（三角形をもつ星）は、すべての $ \alpha < \alpha_0 $（$ \alpha_0 \in (\frac{1}{2}, 1) $）に対して、一意なユニサイクリックグラフとして $ \rho_{D_\alpha}(G) $ を最小化する。このスペクトル半径は、立方体特徴多項式を満たす。
• $ S_n $ の一般化された距離スペクトル半径は、$ n $ 頂点の他のすべての木よりも厳密に小さい。同様に、$ S_n^+ $ のスペクトル半径も、ユニサイクリックグラフにおいてすべての $ \alpha $ について、非自明な区間で最小である。
• この結果は、[13] の補題 3.5（木の距離スペクトル半径に関するもの）および [15] の補題 3.6（木の距離符号なしラプラシアンスペクトル半径に関するもの）を一般化しており、それぞれ $ \alpha = 0 $ および $ \alpha = \frac{1}{2} $ でそれらの結果が回復される。
• 彩色数 $ r \geq 3 $ をもつ $ n $ 頂点の連結グラフの中で、一般化された距離スペクトル半径を最小化する一意なグラフは、完全 $ r $-部グラフ $ K_{1,1,\dots,1,n-r+1} $ である。これは [5] における予想を確認する。
• $ \alpha = 0 $ の場合、この結果は既知の極値結果を回復する。すなわち、$ n $ 頂点の木の中で $ S_n $ が距離スペクトル半径を最小化し、ユニサイクリックグラフの中で $ S_n^+ $ がそれを最小化する。これは、先行研究と整合的である。