[論文レビュー] On the generalized linear and non-linear DFC in non-linear dynamics

Dmitriy Dmitrishin, Anna Khamitova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形離散力学系における平衡点の安定化を目的として、一般化線形および非線形遅延フィードバック制御（DFC）を検討する。一般化線形DFCは、古典的Pyragas DFCと同一の根本的制限を受けることが証明された一方で、複数の遅延を用いた非線形DFCは、ベクトル値系において任意の許容可能な乗数集合に対して、強健に平衡点を安定化できることを示し、線形手法に比べ顕著な優位性を示す。

ABSTRACT

The article is devoted to investigation of robust stability of the generalized linear control of the discrete autonomous dynamical systems. Sharp necessary conditions on the size of the set of multipliers that guaranty robust stabilization of the equilibrium of the system are provided. Surprisingly enough it turns out that the generalized linear delayed feedback control has same limitation as the classical Pyragas DFC. This generalized Ushio 1996 DFC limitation statement. Note that in scalar case a generalized non-linear control can robustly stabilize an equilibrium for any admissible range of multipliers. In the current article similar result is obtained in the vector-valued setting.

研究の動機と目的

• 一般化線形および非線形遅延フィードバック制御（DFC）を用いた、非線形離散力学系における平衡点の強健な安定化を調査すること。
• システムパrameterの不確実性下でも強健な安定化を保証するための乗数集合に対する鋭い必要条件を同定すること。
• 一般化線形DFCの制限を古典的Pyragas DFCの制限と比較し、ベクトル値系における非線形DFCの利点を検討すること。
• 非線形DFCが複数の遅延を用いる場合、ベクトルケースにおいて任意の許容可能な乗数集合に対して平衡点を強健に安定化できることを確立すること。

提案手法

• 不安定な平衡点とパラメータ依存のヤコビ行列を有する離散非周期的力学系としてシステムをモデル化する。
• 複数の時間遅延における状態差に基づいて導出される、一般化線形DFCにおける閉ループ系の特性多項式を分析する。
• 多項式写像による単位円板の像の逆写像を用いて、安定性問題を幾何的複素関数論の問題に変換する。
• 条件 $ q(0) = 0 $、$ q(1) = 1 $ を満たす形での多項式写像 $ q(z) = \sum_{j=1}^{N} \alpha_j z^j $ を用いて、許容可能な乗数領域を特徴付ける。
• 単位円板の写像および単位円に関する反転を含む複素解析的手法を用いて、安定性条件を導出する。
• 左半平面および単位円板領域をカバーするための特定の多項式写像 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $ を構築し、$ \Re(\mu) \leq 1/N $ に対して強健性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化線形DFCは、パrameterの不確実性下でも、古典的Pyragas DFCの制限を克服できるか？
• RQ2 複数の遅延を用いた非線形DFCは、ベクトル値系において任意の許容可能な乗数集合に対して、強健に平衡点を安定化できるか？
• RQ3 非線形DFCを用いて、複素平面における与えられた乗数領域をカバーするための最小多項式次数は何か？
• RQ4 多項式写像による単位円板の像の幾何的構造は、安定化の強健性とどのように関係するか？
• RQ5 任意の乗数集合に対して安定性を保証する非線形DFCコントローラーを構成的に設計する方法はあるか？

主な発見

• 一般化線形DFCは、古典的Pyragas DFCと同一の根本的制限を受ける：乗数集合に単位円上または複素平面の特定の領域に値を含む場合、システムを安定化できない。
• 線形DFCとは対照的に、複数の遅延を用いた非線形DFCは、ベクトル値系において任意の許容可能な乗数集合に対して、強健に平衡点を安定化できる。
• 本稿では、特定の多項式写像 $ q(z) = \frac{2}{N} \sum_{j=1}^{N} (1 - \frac{j}{N+1}) z^j $ を構築し、その逆像が左半平面および単位円板をカバーすることを保証することで、$ \Re(\mu) \leq 1/N $ に対して強健な安定化を実現する。
• 本手法は、安定性問題を幾何的複素関数論の問題に還元する：乗数集合 $ M $ が多項式写像 $ q(z) $ による単位円板の像の逆像に含まれることを要件とする。
• Ikeda写像およびArnold猫写像に対して、数値シミュレーションにより非線形DFCが、混沌沌と変動、分離、集中、最終的安定化の段階を経てシステムを制御することが確認された。
• 提案された非線形DFCコントローラーは、平衡点の位置に依存せず、同期時に消えるため、元のシステムの平衡点構造を保持する。