[論文レビュー] On the generation of Heronian triangles

Sascha Kurz|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、直径 $ n $ までの一括整数ヘロン三角形（整数辺と有理面積を持つ三角形）を生成するための効率的アルゴリズムを提示している。著者らは分母を排除する改良されたパラメータ化を用い、高速な計算を可能にした。時間計算量は $ \\mathcal{O}(n^{2+\varepsilon}) $ であり、$ n \leq 600000 $ までにすべてのこのような三角形を列挙した。これにより、完全なピラミッドや面積と周囲長が等しいヘロン三角形の族といった関連する幾何学的問題に対する新たな知見が得られた。

ABSTRACT

We describe several algorithms for the generation of integer Heronian triangles with diameter at most $n$. Two of them have running time $\mathcal{O}\left(n^{2+\varepsilon} ight)$. We enumerate all integer Heronian triangles for $n\le 600000$ and apply the complete list on some related problems.

研究の動機と目的

• 直径（最大辺長）が $ n $ 以下のすべての整数ヘロン三角形を生成する高速なアルゴリズムの開発。
• ブラフマグプタの元々のパラメトリック表現における計算の非効率性を克服するため、分母を排除する新しいパラメータ化を導入。
• $ n = 600000 $ までにすべてのこのような三角形を列挙し、ディオファントス幾何における未解決問題の実験的調査を可能にする。
• 完成したリストを、完全なピラミッドの存在や、面積と周囲長が等しいヘロン三角形の集合といった関連問題に応用。

提案手法

• ブラフマグプタの公式における分母を排除するため、互いに素な整数 $ w_1, w_2, w_3, w_4 $ と平方因子なしのパラメータ $ s, u $ を用いたヘロン三角形の新しいパラメータ化を導入。
• $ w_4 \leq 8n $ を証明し、分母の因子の探索空間を制限することで、効率的な列挙を可能にした。
• $ w_4 \mid 2(i+h) $ および $ w_4 \mid 8c $ という恒等式を用いて $ w_4 $ の可能な値を制約し、探索空間を削減。
• アルゴリズム3.1を実装し、$ a $、$ w_4 $、および $ a w_4 $ の因数分解を回す。その後、各 $ z $ に対して $ x^2 + y^2 = z $ を解く。
• 整数因数分解の入れ子ループを用いて、$ p, \alpha, u, x, y, \beta, w_1, v, \gamma, s, t $ のパラメータを回復し、辺長 $ a, b, c $ を計算。
• また、$ ab $ の約数の個数に基づく第二のアルゴリズムを用い、$ \mathcal{L}_{\varphi(b_1,b_2)}(j) $ を用いて候補となる三角形を効率的に生成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が $ n $ 以下のすべての整数ヘロン三角形を生成する最も効率的な方法は何か？ また、$ \mathcal{O}(n^{2+\varepsilon}) $ 時間で実現可能か？
• RQ2 すべての面積が等しい、またはすべての体積が等しい完全なピラミッド（整数辺、有理面積、有理体積を持つ四面体）は存在するか？
• RQ3 面積と周囲長が等しい $ N \geq 11 $ 個の互いに相似でないヘロン三角形の集合は存在するか？
• RQ4 三つの有理中線をもつヘロン三角形は存在するか？ もし存在するならば、その最小直径は何か？

主な発見

• 著者らは、直径が $ n = 600000 $ 以下のすべての整数ヘロン三角形を列挙し、今後の分析のための完全なリストを生成した。
• 時間計算量 $ \mathcal{O}(n^{2+\varepsilon}) $ の2つのアルゴリズムを開発し、ブルートフォースな列挙に比べて顕著に高速化された。
• 未解決問題としての三つの有理中線をもつヘロン三角形の例は見つからなかった。これは、このような三角形が直径600000を超える可能性を示唆している。
• 辺が等差数列にあり、1つの面積が有理数である唯一の有理四面体がスケーリングを除き一意であるという予想は、直径600000までに検証された。
• 表面積が等しい6つの異なる原始的完全ピラミッドが発見されたが、表面積と体積が両方等しい例は直径600000までに発見されなかった。
• 面積と周囲長が等しい11個のヘロン三角形の最小の11重組の周囲長は120万を超えており、このような構成が困難であることを確認した。