[論文レビュー] On The Generators Of Quantum Stochastic Operator Cocycles

Stephen J. Wills|ArXiv.org|Oct 10, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正値、射影、部分等長的など、収縮的でない場合を含めた量子確率的作用素コサイクルの生成子を特徴づけている。特に、正値収縮コサイクルに対する変換を導入し、可換な成分 von Neumann 代数を持つマルコフ正則収縮コサイクルが、部分等長コサイクルと正値コサイクルの積に分解できることを示す極分解定理を確立している。

ABSTRACT

The stochastic generators of Markov-regular operator cocycles on symmetric Fock space are studied in a variety of cases: positive cocycles, projection cocycles, and partially isometric cocycles. Moreover a class of transformations of positive contraction cocycles is exhibited which leads to a polar decomposition result.

研究の動機と目的

• 標準的な収縮的ケースを超えた、マルコフ正則作用素コサイクルの確率的生成子を特徴づけること。特に、正値、射影、部分等長的コサイクルに焦点を当てる。
• QSDE生成子の既知の特徴づけを収縮的でないクラスのコサイクルへ拡張すること。
• 正値収縮コサイクルに対する一パrameter族の変換を導入し、極分解結果を導出すること。
• 成分 von Neumann 代数が可換である条件の下で、マルコフ正則収縮コサイクルが部分等長コサイクルと正値コサイクルの積に分解されることを確立すること。

提案手法

• 作用素 $ B(\frak{h} \bigotimes \tilde{\frak{k}}) $ に倣う演算子によって駆動される、Hudson-Parthasarathy 量子確率的微分方程式 (QSDE) フレームワークを用いて、コサイクルを解としてモデル化する。ここで $ \tilde{\frak{k}} = \bbC \bigoplus \frak{k} $ である。
• フォック空間上での時間シフトおよび時間反転作用素 $ S_t $, $ R_t $ を用いて、$ E_0 $-半群 $ \rho_t $ を定義し、これによりコサイクルの時間発展を支配する。
• フォック適応性を保証するため、適応性条件 $ X_t < B(\frak{h} \bigotimes \frak{F}_{[0,t[}) × I_{\frak{F}_{[t,\infty[}} $ を課す。
• 代数的およびスペクトル的技法を用いて、コサイクルが正値、射影的、または部分等長的であるための生成子 $ F $ に対する必要十分条件を導出する。
• パrameter $ \lambda \in [0,1] $ を用いた正値収縮コサイクルへの変換を導入し、新たなコサイクルの生成子 $ G $ と $ E $ を持つ修正された QSDE を得る。
• 生成子 $ \mathcal{M}_X $ が可換であるという条件下で、$ X = U|X| $ と表される極分解を示す。ここで $ U $ は部分等長コサイクル、$ |X| $ は正値コサイクルである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子確率的コサイクルが正値または射影的であるための生成子 $ F $ に対する必要十分条件は何か？
• RQ2 既知の生成子特徴づけを収縮的でないクラス、例えば正値および部分等長的コサイクルを含むように一般化することは可能か？
• RQ3 正値収縮コサイクルに対する一パrameter族の変換により、正値コサイクルと部分等長コサイクルへの分解が得られるか？
• RQ4 どのような条件下で、マルコフ正則収縮コサイクルが部分等長コサイクルと正値コサイクルの積に極分解可能か？
• RQ5 このような分解されたコサイクルの生成子 $ F $ の構造は何か？また、$ G $ と $ E $ は $ F $ とどのように関係するか？

主な発見

• 成分 von Neumann 代数 $ \frak{M}_X $ が可換である任意のマルコフ正則収縮コサイクル $ X $ は、極分解 $ X = U|X| $ を持つ。ここで $ U $ は部分等長コサイクル、$ |X| $ は正値収縮コサイクルである。
• フォック空間 $ \bbC \otimes \frak{F}_+ $ 上のマルコフ正則収縮コサイクルの生成子 $ F $ は、$ F = \begin{bmatrix} i\mu - \frac{1}{2}(\nu^2 + \|v\|^2) & \langle \nu(I-D^*D)^{1/2}w - D^*v | \\ |v\rangle & D - I \end{bmatrix} $ の形をとり、$ D $ は収縮である。
• 空間 $ \frak{h} = \bbC $ の場合、生成子 $ F $ は $ G $（正値部）と $ E $（部分等長部）に分解され、$ D $, $ v $, $ w $, $ \nu $, $ \mu $ を用いて明示的に与えられる。$ G $ と $ E $ はそれぞれ必要な QSDE を満たす。
• $ D $ が部分等長かつ $ N = D $ のとき、生成子 $ G $ と $ E $ は明示的に計算可能であり、$ G $ が正値で、$ E $ が収縮かつ $ \chi(E) = 0 $ を満たすことが示され、$ U $ が等長的であることが示唆される。
• $ F \mapsto F_\lambda $ の変換はコサイクル構造を保存し、$ G $ が正値で $ E $ が収縮である新たな生成子ペア $ (G,E) $ を得る。このペアは極分解方程式を満たす。
• システム (4.3) の第3条件が成立しないのは、$ \operatorname{Ran}|D|^\perp $ 上で $ L $ を 0 に設定した場合であり、左シフトを用いた反例により、$ K + K^* + M^*M = \nu^2\|P^\perp w\|^2 \neq 0 $ であることが示され、部分等長的性質が破綻することが確認される。