[論文レビュー] On the Generic Existence of Periodic Orbits in Hamiltonian Dynamics

Viktor L. Ginzburg, Başak Z. Gürel|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、フローレホモロジーにおける共鳴関係を用いて、複素射影空間およびグラスマン多様体上のハミルトニアン微分同相写像、および充填可能な接触多様体上のリーブフローに対して、$C^\infty$-一般に無限個の周期的軌道が存在することを確立している。また、無理数フラックスを持つ2次元トーラス上のシンプレクティック同相写像について、周期的軌道が1つ存在し、かつすべてが非退化であれば、無限個の周期的軌道が存在することを示している。主な貢献は、$C^\infty$-小な摂動に対して共鳴関係が壊れることに依存する一般存在結果である。

ABSTRACT

We prove several generic existence results for infinitely many periodic orbits of Hamiltonian diffeomorphisms or Reeb flows. For instance, we show that a Hamiltonian diffeomorphism of a complex projective space or Grassmannian generically has infinitely many periodic orbits. We also consider symplectomorphisms of the two-torus with irrational flux. We show that such a symplectomorphism necessarily has infinitely many periodic orbits whenever it has one and all periodic points are non-degenerate.

研究の動機と目的

• 複素射影空間やグラスマン多様体を含む、シンプレクティック的にアーシャーブでないシンプレクティック多様体上でのハミルトニアン力学における、$C^\infty$-一般に無限個の周期的軌道が存在することを確立すること。
• ユニットコタングェントバンドルや標準接触構造を備えた球面を含む、充填可能な接触多様体上のリーブフローに対しても、一般存在結果を拡張すること。
• 無理数フラックスを持つ2次元トーラス上のシンプレクティック同相写像の周期的軌道構造を解析し、1つの非退化周期的軌道の存在が無限個の軌道を意味することを示すこと。
• フローレホモロジーにおける共鳴関係と、$C^\infty$-小摂動に対するそれらの関係の壊れやすさに依拠して、既存の周期的軌道に関する結果を統一的かつ一般化すること。
• トポロジカルな障害（例：奇数次ホモロジー）と力学的条件（例：非退化性、非双曲性）が、一般存在定理において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• ハミルトニアン微分同相写像またはリーブフローが有限個の周期的軌道しか持たない場合に、フローレホモロジーにおける共鳴関係が満たされなければならないことを利用している。
• このような共鳴関係は、$C^\infty$-小な摂動によって破壊され得ることに着目し、その結果、無限個の周期的軌道が生成されることを示している。
• 無理数フラックスを持つ2次元トーラス上のシンプレクティック同相写像の解析に、フローレ–ノヴィコフホモロジーを用いており、非退化周期的点の存在が無限大の軌道成長を意味することを証明している。
• $\operatorname{H}_{\text{odd}}(M;\mathbb{Z}) \neq 0$ であるとき、非退化ハミルトニアン微分同相写像は偶数のコンリー–ゼンダー指数を持つ周期的点を持つ必要があるが、これはフローレホモロジーと矛盾するため、無限個の軌道が存在しなければならないという事実に依拠している。
• リーブフローの場合には、閉じた特徴線が存在することを保証するため、ワイナーシュタイン予想を必要条件として用いている。これにより、無限個の軌道を持つ残渣的集合の構成が可能になる。
• 非双曲的周期的点の文脈で、ビルコフ–モーザー不動点定理を適用し、一般的摂動によって無限個の軌道を生成している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間$\mathbb{C}P^n$のような、シンプレクティック的にアーシャーブでない多様体上でのハミルトニアン微分同相写像が、どのような一般的条件下で無限個の周期的軌道を持つのか。
• RQ2 無理数フラックスを持つ2次元トーラス上のシンプレクティック同相写像において、1つの非退化周期的軌道の存在が、無限個のそれらの軌道の存在を意味するのか。
• RQ3 フローレホモロジーにおける共鳴関係が周期的軌道の数をどのように制約し、なぜ$C^\infty$-小摂動によってそれらが破壊されるのか。
• RQ4 充填可能な接触多様体上のリーブフローに対して、$C^\infty$-一般に無限個の周期的軌道が存在することは、どの程度まで確立可能か。
• RQ5 ハミルトニアン微分同相写像が一般に無限個の周期的軌道を持つことを保証するために、どのようなトポロジカル的または力学的条件が必要か。

主な発見

• 複素射影空間$\mathbb{C}P^n$やグラスマン多様体上での$C^\infty$-一般なハミルトニアン微分同相写像は、有限個の周期的軌道しか持たない微分同相写像が存在するにもかかわらず、無限個の周期的軌道を持つ。
• 無理数フラックスを持つ2次元トーラス上のシンプレクティック同相写像が少なくとも1つの周期的軌道を持ち、かつすべての周期的点が非退化であれば、無限個の周期的軌道を持つ。
• 充填可能な接触多様体上の接触形式の$C^\infty$-一般なリーブフローは、接触構造に対してワイナーシュタイン予想が成り立つ限り、無限個の周期的軌道を持つ。
• 非退化接触形式の空間における、無限個の周期的軌道を持つ接触形式の集合は、$C^\infty$-位相において残渣的である。
• 周期的軌道を制約するフローレホモロジーにおける共鳴関係は、$C^\infty$-小摂動に対して壊れやすく、その関係が破壊されると、無限個の軌道が生成されることになる。
• $\operatorname{H}_{\text{odd}}(M;\mathbb{Z}) \neq 0$ であるとき、強非退化ハミルトニアン微分同相写像は、コンリー–ゼンダー指数の偶奇制約により、無限個の周期的軌道を持つ必要がある。