[論文レビュー] On the geodesic problem for the Dirichlet metric and the Ebin metric on the space of Sasakian metrics

Simone Calamai, David Petrecca+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Sasakian計量空間上のCalabi計量とDirichlet（勾配）計量の和からなる組み合わせ計量に対する測地線方程式の局所的適切性を確立する。初期データが Hölder 空間にある場合の存在、一意性、滑らかさを証明し、この和計量がSasakian構造の空間へのEbin計量の制限として自然に現れることを示す。

ABSTRACT

We study the geodesic equation for the Dirichlet (gradient) metric in the space of Kaehler potentials. We first solve the initial value problem for the geodesic equation of the combination metric, including the gradient metric. We then discuss a comparison theorem between it and the Calabi metric. As geometric motivation of the combination metric, we find that the Ebin metric restricted to the space of type II deformations of a Sasakian structure is the sum of the Calabi metric and the gradient metric.

研究の動機と目的

• Sasakian計量空間に組み合わせ計量を備えた測地線の初期値問題を解くこと。
• Sasakian幾何学におけるCalabi計量とDirichlet計量の和の幾何学的意義を確立すること。
• Sasakian構造のタイプII変形に制限されたEbin計量が、和計量の2倍に一致することを示すこと。
• Hölder空間における組み合わせ計量に対する測地線方程式の局所的適切性を証明すること。
• 曲率の境界条件下で、Rauch型定理を用いて勾配計量とCalabi計量のジャコビ場を比較すること。

提案手法

• Kählerポテンシャル空間上のCalabi、Dirichlet（勾配）、および$L^2$計量の線形結合として組み合わせ計量を定義する。
• Hölder空間$C^{k,\alpha}$（$k \geq 6$）におけるエネルギー推定を用いて、組み合わせ計量に対する測地線方程式の局所的適切性を証明する。
• 測地線方程式を、ラプラシアンおよびその累乗を含む4階偏微分方程式として導出する：$\Delta_\varphi^2 D_t^C \varphi' - \Delta_\varphi D_t^G \varphi' = 0$。
• 横断的楕円型作用素理論とグリーン作用素$G_\varphi$を用いて、和計量のレヴィチビッツ接続を特徴付ける。
• 曲率の境界条件下で、勾配計量とCalabi計量のジャコビ場の間のRauch型比較定理を確立する。
• Ebin計量をSasakian計量空間に制限すると、Calabi計量と勾配計量の和の2倍に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi計量とDirichlet計量の組み合わせ計量に対する測地線方程式は、Hölder空間における与えられた初期データに対して一意解をもつか。
• RQ2 Dirichlet計量の曲率はCalabi計量の曲率と比べてどのように異なり、ジャコビ場の挙動にどのような影響を及えるか。
• RQ3 Ebin計量をSasakian計量空間に制限したものは何か。また、Calabi計量と勾配計量の和計量とどのように関係するか。
• RQ4 Sasakian計量上の和計量は、周囲のEbin幾何学から自然に生じるリーマン計量として実現可能か。
• RQ5 同時にCalabi測地線でありかつ勾配測地線である非自明な曲線は存在するか。もし存在しないなら、その理由は何か。

主な発見

• 初期値問題は局所的に適切である：任意の$\varphi_0 \in \mathcal{H}$および$\psi_0 \in C^{k,\alpha}(g)$（$k \geq 6$）に対して、$\varphi_0$を出発点とし初期速度$\psi_0$を持つ、一意の$C^2([0,T], C^{k,\alpha} \cap \mathcal{H})$測地線が存在する。
• 初期データ$\varphi_0$と$\psi_0$が滑らかであれば、測地線解に対しても滑らかである。
• Ebin計量をSasakian計量空間に制限したものは、正確にCalabi計量とDirichlet計量の和の2倍に一致する。
• 和計量の測地線方程式は$\Delta_\varphi^2 D_t^C \varphi' - \Delta_\varphi D_t^G \varphi' = 0$で与えられ、これはラプラシアンおよびその累乗を含む4階偏微分方程式に等価である。
• Rauch型比較定理が成り立つ：曲率の境界条件下で、勾配計量測地線に沿ったジャコビ場のノルムは$\frac{|\sin(2t\sqrt{=\text{vol}})|}{\sqrt{\text{vol}}}$で下から抑えられる。
• 曲率と発展構造の不一致のため、Calabi計量とDirichlet計量の両方の測地線である非自明な曲線は存在しない。