[論文レビュー] On the geometric convergence rate of distributed economic dispatch/demand response in power networks

Thinh T. Doan, Alex Olshevsky|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Smart Grid Energy Management参考文献 28被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、各ノードが局所的凸関数を保持し、変数が線形制約によって結合される動的電力ネットワークにおける凸最適化問題を解く、完全に分散型のプライマル・デュアルアルゴリズムを提案する。標準的な仮定の下で、この手法は最適解への幾何的収束を達成し、時変な無向グラフではノード数の4乗に比例して収束時間が増加するが、b ≥ 3 を満たすb-正則グラフでは収束時間が一定のまま保たれる。

ABSTRACT

Motivated by potential applications in power systems, we study a problem of optimizing a sum of $n$ convex functions on dynamic networks of $n$ nodes when each function is known to only a single node. The nodes' variables, while satisfy their local constraints, are coupled through a linear constraint. Our main contribution is to design a fully distributed primal-dual method for this problem. Under some fairly standard assumptions on objective functions, strong convexity and smoothness, we provide an explicit analysis for the convergence rate of our method on different networks. In particular, the nodes variables achieve a geometric convergence to the optimal with the associated convergence time scales quartically in the number of nodes on any sequence of time-varying undirected graphs satisfying a long-term connectivity condition. Moreover, this convergence time is constant independent on the number of nodes when the network is a b-regular simple graph with $b\geq 3$. Finally, to show the effectiveness of our method we also simulate a number of studies on economic dispatch problems and demand response problems in power systems.

研究の動機と目的

• 各ノードが局所的目的関数を保持し、変数がグローバルな線形制約によって結合される電力ネットワークにおける分散最適化を扱う。
• 中央集権的な調整者を必要とせず、局所的計算と隣接ノード間の通信に依存する完全に分散型のアルゴリズムを設計する。
• 特に時変な無向グラフを想定した場合のネットワークトポロジーの変化に対する収束速度を分析する。
• ネットワークのサイズと構造、特に正則グラフの場合の収束時間のスケーリング関係を確立する。
• 電力系統における経済的発電および需要応答のシナリオにおいて、シミュレーションを通じて手法の有効性を検証する。

提案手法

• 各ノードが局所情報と隣接ノードとの通信にのみ依存して、局所変数およびデュアル乗数を更新する完全に分散型のプライマル・デュアルアルゴリズムを設計する。
• 凸目的関数の局所的勾配情報とデュアル上昇ステップを活用し、結合線形制約を強制する。
• 目的関数の強い凸性と滑らかさの仮定の下で収束解析を実施する。
• 長期間にわたる連結性条件を満たす時変な無向グラフ上でアルゴリズムが動作し、時間経過に伴う持続的な通信を保証する。
• リャプノフ関数とネットワークトポロジーの特性（特にスぺクトルギャップと正則性）を用いて収束速度を解析する。
• アルゴリズムは実装され、電力系統の経済的発電および需要応答のシナリオにおけるシミュレーションでテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的電力システムノードネットワークにおいて、分散型プライマル・デュアル手法は最適解にどの程度の速さで収束するか？
• RQ2 時変な無向グラフにおける収束時間はノード数にどのように依存するか？
• RQ3 特定の構造的グラフ（例：b ≥ 3 を満たすb-正則グラフ）では、ネットワークサイズの増加に対しても収束時間が有界に保たれるか？
• RQ4 既存の分散最適化手法と比較して、本手法は電力系統応用分野でどの程度の性能を示すか？
• RQ5 本手法は現実の電力ネットワークにおける経済的発電および需要応答問題を効果的に解けるか？

主な発見

• 標準的な仮定（強い凸性と滑らかさ）の下で、提案された分散型プライマル・デュアル手法は最適解への幾何的収束を達成する。
• 長期間にわたる連結性条件を満たす任意の時変な無向グラフの系列において、収束時間はノード数の4乗に比例して増加する。
• b ≥ 3 を満たすb-正則単純グラフでは、収束時間が定数であり、ノード数とは無関係に保たれる。
• シミュレーション研究により、本手法は電力系統における経済的発電および需要応答問題を効果的に解けることが示された。
• ネットワークトポロジーの特性、特にグラフラプラシアンのスペクトルギャップを用いて、収束速度が解析的に上限付けられている。