[論文レビュー] On the geometric foundation of classical gauge gravitation theory

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Jan 22, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 57被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、世界多様体上の自然バンドルにおける一般線形群GL(4,R)のゲージ理論として重力理論を形式化することにより、古典的ゲージ重力理論の幾何学的基盤を確立する。ここで計量（テトラッド）場は、自発的ローレンツ対称性の破れを引き起こすヒッグス場として機能する。主な貢献は、一般線形群GL(4,R)の構造群をローレンツ群SO(1,3)に還元することは、計量バンドルの全空間的切断の存在に相当することを示し、これにより擬リーマン計量がゲージ理論枠組みにおけるヒッグス場として特定されることを明らかにしている。

ABSTRACT

A number of recent works in E-print arXiv have addressed the foundation of gauge gravitation theory again. As is well known, differential geometry of fibre bundles provides the adequate mathematical formulation of classical field theory, including gauge theory on principal bundles. Gauge gravitation theory is formulated on the natural bundles over a world manifold whose structure group is reducible to the Lorentz group. It is the metric-affine gravitation theory where a metric (tetrad) gravitational field is a Higgs field.

研究の動機と目的

• 自然バンドルの文脈において微分同相変換とゲージ変換の役割を明確にすることで、重力をゲージ理論として形式化する際の矛盾を解消すること。
• 一般共変性（正規座標変換）が存在するため、内部対称性の標準的ゲージ理論用語が重力に直接適用できないことの明確化。
• 一般相対性理論における計量重力場が、自発的ローレンツ対称性の破れに関連するヒッグス場として幾何学的に解釈可能であることを確立すること。
• 構造群GL(4,R)をSO(1,3)に還元することは、計量バンドルの全空間的切断の存在に相当し、これは擬リーマン計量に等価であることを示すこと。
• 自然バンドルの構造群の還元がローレンツ群に相当する際の幾何学的等価原理と、主バンドル枠組みにおける計量がヒッグス場として出現する関係を形式化すること。

提案手法

• 4次元の向き付けられた滑らかな世界多様体X上の自然バンドルを用いた fibre バンドル幾何学の枠組みを採用し、重力をモデル化する。
• ゲージ変換を基底多様体の微分同相写像を引き上げるバンドル自己同型として定義し、内部ゲージ理論で用いられる垂直ゲージ変換とは区別する。
• 主GL(4,R)-バンドルP → Xの1次ジャンプバンドルJ¹Pを用い、商バンドルC = J¹P/Gを構成する。このCは主接続をパラメトライズし、ゲージポテンシャルのバンドルとして機能する。
• 主バンドルP上の主接続とバンドルC → Xの全空間的切断の間には1対1の対応が存在し、局所座標(x^λ, a^q_λ)はゲージポテンシャルを表す。
• 関連バンドルの構成法を用いて、構造群のリー代数の表現を通じて、Pに付随するファイバー・バンドル（例えばベクトルバンドル）への接続を誘導する。
• GL(4,R)の構造群をSO(1,3)に還元することは、商バンドルΣ_PR = LX/SO(1,3)の全空間的切断の存在に等価であり、これは計量バンドルに同定されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般共変性（正規座標変換）が内部対称性の垂直ゲージ変換と異なるため、重力を一貫してゲージ理論として形式化する方法は何か？
• RQ2 テトラッド（ヴィエルバイン）場はゲージ重力理論において幾何学的にどのような役割を果たし、アフィン接続やソルディング形式とどのように関係するか？
• RQ3 ゲージ理論枠組みにおいて計量場がどのようにヒッグス場として出現するか、そして自発的ローレンツ対称性の破れとどのような関係にあるか？
• RQ4 接続バンドルの正確な数学的構造は何か、またその局所係数a^q_λはゲージポテンシャルの係数とどのように関係するか？
• RQ5 自然バンドルの構造群の還元がローレンツ群に相当する際、幾何学的等価原理はどのように実現されるか？

主な発見

• 計量重力場は、計量バンドルΣ_PR = LX/SO(1,3)の全空間的切断として幾何学的に特定され、これは構造群GL(4,R)がSO(1,3)に還元可能である場合にのみ存在する。
• この還元は、擬リーマン計量gが存在する世界多様体X上に存在する還元されたローレンツ構造L^gXに等価である。
• 計量は、GL(4,R)対称性がローレンツ群SO(1,3)に自発的破れする原因となるヒッグス場として機能することが示され、幾何学的等価原理と整合的である。
• 主接続バンドルC → Xは商J¹P/Gとして構成され、その全空間的切断は主バンドルP → X上の主接続と1対1に対応する。
• 接続形式の局所係数a^q_λは、理論におけるゲージポテンシャルとして特定され、ゲージ理論の標準的定義と一致する。
• 関連バンドルの構成法により、P上の任意の主接続が、構造群のリー代数の表現を通じて、Pに付随する任意のファイバー・バンドル（ベクトルバンドルを含む）に自然な接続を誘導することが保証される。