[論文レビュー] On the geometry of (1,2)-polarized Kummer surfaces

Adrian Clingher, Andreas Malmendier|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の(1,2)-極性付アーベル曲面に関連する(1,2)-極性付クーマー面が、3本の直線が一点に集中する6本の直線を分岐曲線とするℙ²への2重被覆として実現可能であることを確立している。主な貢献は、双有理的同値関係として、(1,2)-極性付クーマー面と、双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の対称平方を双有理的接合で割った商の間の関係を確立し、3種類の曲線のハーモニック形式と組み合わせて、重み付き射影空間内での標準形を構成することにある。

ABSTRACT

We discuss several geometric features of a Kummer surface associated with a (1,2)-polarized abelian surface defined over the field of complex numbers. In particular, we show that any such Kummer surface can be modeled as the double cover of the projective plane branched along six lines, three of which meet a common point. The proof uses certain explicit pencils of plane quartic bielliptic genus-three curves whose associated Prym varieties are naturally (1,2)-polarized abelian surfaces.

研究の動機と目的

• 主極性の場合を超えて、(1,2)-極性付クーマー面の古典的幾何的記述を拡張すること。
• 双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の対称平方を用いた、(1,2)-極性付クーマー面の双有理的モデルを提供すること。
• Prym多様体が(1,2)-極性付アーベル曲面に同型である平面四次曲線の双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の明示的線型族を構成すること。
• Jacobianに(2,2)-同一型写像が作用する場合に、それに対応するクーマー面間の有理写像を、基底変換とファイバーごとの同一型写像を用いて記述すること。
• 主極性の場合に知られている結果に類似した、(1,2)-極性付クーマー面に対するクーマー・サンドイッチ定理を確立すること。

提案手法

• 3種類の曲線がハイパーリプチックかつ双有理的である場合、それが2種類の曲線への2重被覆であることに着目し、(1,2)-極性付クーマー面から主極性付クーマー面への2次有理写像を構成する。
• Prym多様体が自然に(1,2)-極性付アーベル曲面に同型である平面四次曲線の双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の明示的線型族を構成する。
• 主極性付アーベル曲面間の(2,2)-同一型写像の理論を適用し、2階捩れ点の最大自己的部分群を用いて、クーマー面間の有理写像を定義する。
• クーマー面間の有理写像を、2つの有理的2重被覆の合成に分解し、それぞれがJacobian楕円曲線ファイブレーションに関する基底変換とファイバーごとの2-同一型写像に対応する。
• 2階捩れ点による平行移動の射影的自己同型への降下を特定し、クーマー面上でVan Geemen-SartiおよびNikulinの対合を実現する。
• (2,2)-同一型写像の分解を、有理的2重被覆の系列として行い、中間の(1,2)-極性付クーマー面とその(2,2)-同一型写像の相手との同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (1,2)-極性付クーマー面は、3本の直線が一点に集中する6本の直線を分岐曲線とするℙ²への2重被覆として記述可能か？
• RQ2 (1,2)-極性付クーマー面は、双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の対称平方をその双有理的接合で割った商として、双有理的モデルとして得られるか？
• RQ3 Prym多様体が(1,2)-極性付アーベル曲面に自然に同型である平面四次曲線の双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の明示的線型族は何か？
• RQ4 2種類の曲線のJacobianに(2,2)-同一型写像が作用する場合、それに対応するクーマー面間の有理写像はどのように生成されるか？
• RQ5 (1,2)-極性付クーマー面間の有理写像は、基底変換とファイバーごとの同一型写像に分解可能か？また、その分解において対合はどのような役割を果たすか？

主な発見

• (1,2)-極性付クーマー面は、双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の対称平方をその双有理的接合で割った商と双有理的同値である。
• (1,2)-極性付クーマー面の標準形が、重み付き射影3次元空間内の四次曲面として導出され、その係数は2種類の曲線のモジュラー形式およびシータ関数で表される。
• Prym多様体が自然に(1,2)-極性付アーベル曲面に同型である平面四次曲線の双有理的・ハイパーリプチックな3種類の曲線の線型族が存在する。
• (2,2)-同一型写像によって誘導されるクーマー面間の有理写像は、2つの有理的2重被覆の合成に分解され、それぞれが異なるファイブレーションに対応する。
• 2階捩れ点 e₁₂ ∈ Jac(C)[2] による平行移動から誘導される対合 ι^Y₁ は、クーマー面上でNikulin対合に降下する。同様に他の対合に対しても同様の性質が成り立つ。
• クーマー面 Kum(ℬ̂₁₂) は、Kum(Jac(C)) と Kum(Jac(Ĉ₁₂)) の間を2次有理写像でつなぐことで、(1,2)-極性付の場合のクーマー・サンドイッチ定理を確立する。