[論文レビュー] On the geometry of a proposed curve complex analogue for $Out(F_n)$

Lucas Sabalka, Dmytro Savchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$のための曲線複体の類似物とされるエッジ分割複体$\mathcal{ES}_n^{1}$を、代数的に測地線を特徴付け、任意の次元の準フラットを構成することで調査する。主な結果として、$\mathcal{ES}_n^{1}$は双曲的ではなく、無限大の漸近次元を持ち、可約な$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$要素による非有界な軌道を許容する。これは、$\mathcal{ES}_n^{1}$と$\mathcal{FF}_n^{1}$や$\mathcal{F}_n^{1}$などの他の提案された複体との間で、粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$--equivariantな quasiisometryが存在しないことを示し、双曲的類似物の可能性を保ち続ける。

ABSTRACT

The group $\Out$ of outer automorphisms of the free group has been an object of active study for many years, yet its geometry is not well understood. Recently, effort has been focused on finding a hyperbolic complex on which $\Out$ acts, in analogy with the curve complex for the mapping class group. Here, we focus on one of these proposed analogues: the edge splitting complex $\ESC$, equivalently known as the separating sphere complex. We characterize geodesic paths in its 1-skeleton algebraically, and use our characterization to find lower bounds on distances between points in this graph. Our distance calculations allow us to find quasiflats of arbitrary dimension in $\ESC$. This shows that $\ESC$: is not hyperbolic, has infinite asymptotic dimension, and is such that every asymptotic cone is infinite dimensional. These quasiflats contain an unbounded orbit of a reducible element of $\Out$. As a consequence, there is no coarsely $\Out$-equivariant quasiisometry between $\ESC$ and other proposed curve complex analogues, including the regular free splitting complex $\FSC$, the (nontrivial intersection) free factorization complex $\FFZC$, and the free factor complex $\FFC$, leaving hope that some of these complexes are hyperbolic.

研究の動機と目的

• mapping class 群のための曲線複体に類似する、$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$の幾何的構造を理解すること。
• $\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$のための類似物とされるエッジ分割複体$\mathcal{ES}_n^{1}$が、双曲的であるか、有限の漸近次元を持つのかを特定すること。
• $\mathcal{FF}_n^{1}$、$\mathcal{F}_n^{1}$、$\mathcal{FS}_n^{1}$などの他の提案された複体との間で、粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-equivariantな quasiisometry が存在するかを調査すること。
• 大規模幾何学的性質と漸近的性質を分析するため、$\mathcal{ES}_n^{1}$に任意の次元の準フラットを構成すること。

提案手法

• 自由分割の共役類とエッジ長関数を用いた、1次元スケルトン$\mathcal{ES}_n^{1}$における測地線パスの代数的特徴付け。
• 繰り返しのエッジ分割操作と制御された長さ増加を用いた、$\psi: \mathbb{Z}^m \to \mathcal{ES}_n^{1}$の準等長埋め込みの構成。
• $\psi$を用いて、$\mathcal{ES}_n^{1}$内に次元$m$の準フラットを生成し、空間が任意の高次元フラット部分空間を含むことを示す。
• 特定の$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-要素$\phi$が$\mathcal{ES}_n^{1}$と$\mathcal{FF}_n^{1}$でどのように作用するかを比較し、$\mathcal{ES}_n^{1}$では非有界な軌道を、$\mathcal{FF}_n^{1}$では有界な軌道を示す。
• 測地線特徴付けから導かれる距離の下限を用いて、$\mathcal{ES}_n^{1}$と$\mathbb{Z}^m$との間で歪みが制御された準等長写像を確立する。
• 軌道の非有界性と等長群作用を用いて、$\mathcal{ES}_n^{1}$と他の複体との間で、粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-equivariantな quasiisometry が存在しないことを排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ分割複体$\mathcal{ES}_n^{1}$は、グロモフの意味で双曲的であるか？
• RQ2 $\mathcal{ES}_n^{1}$は有限の漸近次元を持つのか、それとも大規模的に無限次元的であるのか？
• RQ3 $\mathcal{ES}_n^{1}$と自由因子分解複体$\mathcal{FF}_n^{1}$との間に、粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-equivariantな quasiisometry が存在する可能性はあるか？
• RQ4 $\mathcal{ES}_n^{1}$には任意の次元の準フラットが存在するのか？ これはその幾何学的性質にどのような含意を持つのか？
• RQ5 $\Sigma: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{F}_n^{1}$と$\imath: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{FS}_n^{1}$は quasiisometry であるか、それとも幾何的不適合性により失敗するのか？

主な発見

• $\mathcal{ES}_n^{1}$は、任意の次元の準フラットの存在により、双曲的ではない。これは双曲的性質に反する。
• $\mathcal{ES}_n^{1}$の漸近次元は無限大であり、$\mathcal{ES}_n^{1}$のすべての漸近的コーンは無限次元的である。
• 任意の$m$に対して、$\psi: \mathbb{Z}^m \to \mathcal{ES}_n^{1}$の準等長埋め込みにより、$\mathcal{ES}_n^{1}$内に次元$m$の準フラットが存在する。
• 可約な$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-要素による非有界な軌道が$\mathcal{ES}_n^{1}$に存在するが、同じ軌道は$\mathcal{FF}_n^{1}$では有界である。これは、それらの間で粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-equivariantな quasiisometry が存在しないことを排除する。
• $\Sigma: \mathcal{ES}_n^{1} \to \mathcal{F}_n^{1}$は quasiisometry ではなく、$\mathcal{ES}_n^{1}$と$\mathcal{F}_n^{1}$との間で粗く$\mathop{\mathrm{Out}}(F_n)$-equivariantな quasiisometry は存在しない。
• $\mathcal{ES}_n^{1}$と$\mathcal{FS}_n^{1}$に対しても同様の結論が成り立ち、ベストヴィナとフェイーンが提起した、このような quasiisometry の存在に関する問題に対する否定的ケースを解決する。