[論文レビュー] On the geometry of exotic nilpotent cones

Syu Kato|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、複素シンプレクティック群 Sp(2n, C) のための奇妙な冪零錐 N の幾何学を調査し、その G-軌道と、型 C のワイル群に対するスプリンガー型対応におけるそれらの役割に焦点を当てる。非自明な局所系を伴わない一対一対応を確立し、型 A の場合と同様の性質を持つ。中心的な役割を果たす奇妙な表現 V = V₁ ⊕ V₂ が特定され、V₁ と V₂ はそれぞれ最高重量 ǫ₁ および ǫ₁ + ǫ₂ を持つ。

ABSTRACT

This paper is a sequel to [K]. Let G be a complex symplectic group. In [K], we constructed a certain G-variety N = N1, which we call the (1-) exotic nilpotent cone. In this paper, we study the set of G-orbits of the variety N. It turns out that the variety N gives a variant of the Springer correspondence for the Weyl group of type C, but shares a similar flavor with that of type A case. (I.e. there appears no non-trivial local system and the correspondence is bijective.) 1 Main results Let G = Sp(2n, C) be a complex symplectic group. Let B and T be its Borel subgroup and a maximal torus of B, respectively. We denote by X ∗ (T) the character group of T. Let R be the root system of (G, T) and let R + be its positive part defined by B. Let W: = NG(T) be the Weyl group of (G, T). We denote by W ∨ the set of isomorphism classes of simple W-modules. We embed R and R + into a n-dimensional Euclid space E = ⊕iCǫi as: R + = {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi} ⊂ {±ǫi ± ǫj} ∪ {±2ǫi} = R ⊂ E. We define V1: = C2n and V2: = (∧2V1)/C. These representations have B-highest weights ǫ1 and ǫ1 + ǫ2, respectively. We put V: = V1 ⊕ V2 and call it the exotic representation of Sp(2n). For a G-module V, we define its weight λ-part (with respect to T) as V [λ]. The positive part V + of V is defined as

研究の動機と目的

• Sp(2n, C) のための奇妙な冪零錐 N in G-軌道の構造を理解すること。
• 奇妙な表現を用いて、型 C のワイル群へのスプリンガー対応を一般化すること。
• 型 A の場合と同様に、一対一かつ非自明な局所系を伴わない対応が成り立つことを示すこと。
• B-最高重量 ǫ₁ および ǫ₁ + ǫ₂ を持つ奇妙な表現 V = V₁ ⊕ V₂ を定義し、それらを分析すること。
• 根系 R 及びその正根部分 R⁺ を、幾何学的・表現論的解析のためのユークリッド空間 E = ⊕iCǫi に埋め込むこと。

提案手法

• 複素シンプレクティック群 G = Sp(2n, C)、ボレル部分群 B、最大トーラス T を定義し、根系 R 及び正根 R⁺ を固定する。
• 根系 R を n 次元ユークリッド空間 E = ⊕iCǫi に埋め込み、R⁺ = {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi} および R = {±ǫi ± ǫj} ∪ {±2ǫi} とする。
• 奇妙な表現 V = V₁ ⊕ V₂ を構成し、V₁ = C²ⁿ および V₂ = (∧²V₁)/C とし、それぞれ B-最高重量 ǫ₁ および ǫ₁ + ǫ₂ を持つ。
• G-加群 V に対して最大トーラス T に関する重み空間分解 V[λ] を定義する。
• V の正部分 V⁺ を、正の重みに対応する重み空間の直和として定義する。
• ワイル群 W = NG(T) 及びその単純 W-加群の集合 W∨ を用いて、軌道構造および対応を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sp(2n, C) のための奇妙な冪零錐 N における G-軌道は、幾何学的にどのように分解されるか？
• RQ2 奇妙な表現を用いて、型 C のワイル群に対するスプリンガー型対応を確立できるか？
• RQ3 型 C の対応は、型 A の場合と同様に一対一かつ非自明な局所系を伴わない性質を示すか？
• RQ4 奇妙な表現 V = V₁ ⊕ V₂ は、対応を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 根系 R を E = ⊕iCǫi に埋め込むことは、軌道構造および表現構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 奇妙な冪零錐 N は G-作用を備え、その軌道空間は単純 W-加群の集合と一対一に対応し、非自明な局所系を伴わない。
• 奇妙な錐を用いた型 C のスプリンガー対応は、型 A の場合と同様に単純かつ一対一の性質を持つ。
• V₁ = C²ⁿ および V₂ = (∧²V₁)/C を持つ奇妙な表現 V = V₁ ⊕ V₂ は、最高重量 ǫ₁ および ǫ₁ + ǫ₂ の基本的表現を実現する。
• V の正部分 V⁺ は、根系における正の重み λ に対応する重み空間 V[λ] の直和として定義される。
• 根系 R⁺ は E = ⊕iCǫi に {ǫi ± ǫj}i<j ∪ {2ǫi} として埋め込まれ、型 C の正根を形成する。
• ワイル群 W = NG(T) は N の軌道空間に作用し、軌道と単純 W-加群の間の対応は自然かつ一対一である。