[論文レビュー] On the geometry of higher-order variational problems on Lie groups

Leonardo Colombo, David Martı́n de Diego|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 20被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、左自明化された高次接バンドルと適応された Skinner-Rusk 形式を用いて、リー群上の高次変分問題の内在的幾何的枠組みを構築する。高次エーラー＝ポワンカレ方程式を導出し、剛体が SO(3) 上に存在するなどの、制御入力が不十分な機械的系の最適制御にこの枠組みを適用する。動力学と制御設計の両方を統一的かつ制約に整合する形で記述する。

ABSTRACT

In this paper, we describe a geometric setting for higher-order lagrangian problems on Lie groups. Using left-trivialization of the higher-order tangent bundle of a Lie group and an adaptation of the classical Skinner-Rusk formalism, we deduce an intrinsic framework for this type of dynamical systems. Interesting applications as, for instance, a geometric derivation of the higher-order Euler-Poincaré equations, optimal control of underactuated control systems whose configuration space is a Lie group are shown, among others, along the paper.

研究の動機と目的

• リー群上での高次ラグランジュ系の内在的幾何的定式化を構築すること。
• リー群構造上の変分原理を用いて、エーラー＝ポワンカレ還元を高次力学へ一般化すること。
• 制御状態空間がリー群である制御不十分な機械的系の最適制御問題にこの形式を適用すること。
• ポンツリャーギンバンドルを用いて、高次力学における一貫性のある、余シンプレクティックハミルトニアン定式化を提供すること。
• 離散系への拡張およびリー代数被覆への将来的な一般化を含む枠組みの拡張。

提案手法

• リー群の高次接バンドルの左自明化を用いて、力学をリー代数の元で記述する。
• 高次系のラグランジュ的およびハミルトニアン的構造を統合するため、Skinner-Rusk 形式を適応する。
• 制約を伴う最適制御問題をモデル化するため、ポンツリャーギンバンドル $ G \times k\mathfrak{g} \times k\mathfrak{g}^* $ を導入する。
• 余シンプレクティックなハミルトニアン定式化における力学の整合性を保証するため、制約アルゴリズムを適用する。
• 一般枠組みの特別な場合として、$ k $-次エーラー＝ポワンカレ方程式を導出する。
• 3つの群のコピーを用いて離散第二階オイラー＝ラグランジュ方程式を定義する、形式の離散版を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Skinner-Rusk 形式を用いて、リー群上での高次変分問題を、内在的で幾何的な形でどのように定式化できるか。
• RQ2 制御入力が不十分なリー群上での最適制御問題の力学の幾何的構造は何か。
• RQ3 提案された形式が、変分原理から高次エーラー＝ポワンカレ方程式をどのように回復・一般化するか。
• RQ4 リー群上での高次系の余シンプレクティックハミルトニアン定式化において、整合性のための必要条件は何か。
• RQ5 この枠組みは離散力学に拡張可能か。また、リー代数被覆へ一般化可能か。

主な発見

• 本稿は、提案された形式の幾何的帰結として、$ k $-次エーラー＝ポワンカレ方程式を導出しており、先行する変分的処理の結果と一致する。
• この枠組みは、SO(3) 上での制御不十分系（例：人工衛星の姿勢制御）の最適制御を効果的にモデル化でき、$ c_1 = 1/2, c_2 = 1/2 $ および $ c_1 = 1/2, c_2 = 0 $ の場合に明示的な解を提供する。
• 特異ケース $ c_1 = 0, c_2 = 1 $ では、$ \frac{d\Omega_3}{dt} = 0 $ を満たす特定の軌道しか存在せず、境界条件が任意でないことが示された。
• 離散定式化により、$ L_d: G \times G \times G \to \mathbb{R} $ の変分から離散第二階オイラー＝ラグランジュ方程式が得られ、$ \Sigma_k $ における境界条件が設定される。
• 形式は制約アルゴリズムと整合しており、余シンプレクティックハミルトニアン設定における力学の適切な定式化を保証する。
• 著者らは、将来的に高次リー代数被覆への一般化および写像による還元への道筋を特定している。