[論文レビュー] On the geometry of quasi-Kaehler manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov, Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非可積分なほぼ複素構造と不定計量を持つほぼ複素多様体のクラスであるNorden計量を備えた擬ケーラー多様体の幾何学を調査する。このような多様体に対して、等方的ケーラー型を導入し、特徴づける。さらに、全ホロモルフィック双断面曲率が消える、もしくは強く等方的ホロモルフィック平面が存在する場合、多様体は等方的ケーラー型であることが示され、その主要結果として、これらの条件下で $ abla J floor^2 = 0$ が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

The basic class of the non-integrable almost complex manifolds with Norden metric is considered. Its curvature properties are studied. The isotropic Kaehler type of investigated manifolds is introduced and characterized geometrically.

研究の動機と目的

• Norden計量を備えた擬ケーラー多様体の曲率性質を研究すること。これは、非可積分なほぼ複素構造を持つほぼ複素多様体の基本的クラスである。
• これらの多様体の等方的ケーラー型を導入し、幾何的に特徴づけること。定義は $\|\nabla J\|^2 = 0$ である。
• このような多様体が等方的ケーラー性質を満たす条件を調査すること。特に、ホロモルフィック双断面曲率との関係を重点的に検討する。
• 曲率不変量、ほぼ複素構造の共変微分、および $\|\nabla J\|^2$ の消滅との関係を確立すること。
• 等方的ケーラー多様体とNorden計量を備えたケーラー多様体の違いを明確にすること。一般に $\|\nabla J\|^2 = 0$ が $\nabla J = 0$ を意味しないことを見せる。

提案手法

• 曲率テンソル $R$ 及びその関連する $(0,4)$-テンソルを用いて、$\mathcal{W}_3$-多様体の幾何的性質を分析する。
• テンソル $F(X,Y,Z) = g((\nabla_X J)Y, Z)$ 及びその対称性を適用し、$\mathfrak{S}_{x,y,z} F(x,y,z) = 0$ を用いてクラス $\mathcal{W}_3$ を特徴づける。
• Lie形式 $\theta(z) = g^{ij} F(e_i, e_j, z)$ を導入し、これにより曲率不変量を定義し、多様体を分類する。
• $\nabla F$ 及び $\nabla J$ を含む恒等式を導出し、特に $\|\nabla J\|^2 = -2(\tau + \tau^{**})$ という恒等式を得る。ここで $\tau$ はスカラー曲率、$\tau^{**} = g^{ij}g^{kl}R(e_i,e_k,Je_l,Je_j)$ である。
• ホロモルフィック双断面曲率 $h(x,y)$ を $R(x,Jx,y,Jy)$ を用いて定義し、これにより曲率の消滅条件を分析する。
• 第一ビアンキ恒等式および巡回和の恒等式を適用し、$\|\nabla J\|^2 = 0$ となる条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Norden計量を備えた $\mathcal{W}_3$-多様体が、等方的ケーラー条件 $\|\nabla J\|^2 = 0$ を満たすのはどのような条件下か？
• RQ2 Norden計量を備えた $\mathcal{W}_3$-多様体において、ホロモルフィック双断面曲率 $h(x,y)$ と曲率テンソル $R(x,Jx,y,Jy)$ の関係は何か？
• RQ3 どのような幾何的条件が、$\mathcal{W}_3$-多様体においてすべての $x,y$ に対して $R(x,Jx,y,Jy) = 0$ が成り立つことを保証するか？
• RQ4 すべての $x,y$ に対して $R(x,Jx,y,Jy) = 0$ が成り立つ場合、$\nabla J \neq 0$ であっても、多様体が等方的ケーラー型であると結論づけられるか？
• RQ5 $\mathcal{W}_3$-多様体において、ケーラー曲率テンソルの性質 $R(X,Y,JZ,JU) = -R(X,Y,Z,U)$ と等方的ケーラー条件の関係は何か？

主な発見

• 等方的ケーラー型は、$\|\nabla J\|^2 = 0$ を満たすほぼ複素多様体のクラスとして導入され、これはケーラー条件 $\nabla J = 0$ よりも弱い。
• 任意の $\mathcal{W}_3$-多様体において、$R(x,Jx,y,Jy) = 0$ が成り立つのは、次のいずれかが成り立つ場合に限る：$h(x,y) = 0$、$\{x,Jx\}$ が強く等方的、または $\{y,Jy\}$ が強く等方的。
• すべての $x,y \in T_pM$ に対して $R(x,Jx,y,Jy) = 0$ が成り立つならば、$\|\nabla J\|^2 = 0$ が成り立つため、多様体は等方的ケーラー型である。
• 任意の $\mathcal{W}_3$-多様体において、恒等式 $\|\nabla J\|^2 = -2(\tau + \tau^{**})$ が成り立つ。ここで $\tau$ はスカラー曲率、$\tau^{**} = g^{ij}g^{kl}R(e_i,e_k,Je_l,Je_j)$ である。
• もし $\mathcal{W}_3$-多様体がケーラー曲率テンソルを持つならば、$\|\nabla J\|^2 = 0$ が成り立つため、等方的ケーラー型である。これは曲率の対称性から導かれる。
• $\|\nabla J\|^2 = 0$ が $\nabla J = 0$ を意味するとは限らないため、等方的ケーラー多様体は $\mathcal{W}_3$-多様体の真の部分クラスである。