[論文レビュー] On the geometry of the automorphism groups of affine varieties

Jean-Philippe Furter, Hanspeter Kraft|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 39被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、アフィン多様体の自己同型群とその作用に注目して、ind多様体およびind群の包括的なサーベイを提供する。任意のアフィン多様体Xの自己同型群Aut(X)が、自己準同型のind半群End(X)において局所的閉集合であることを確立し、非タム自己同型に基づく、連結なind群の真の閉部分群で、同じリ Lie代数を持つ新しい例を提示する。

ABSTRACT

This article is a survey on ind-varieties and ind-groups introduced by Shafarevich in 1965, with a special emphasis on automorphism groups of affine varieties and actions of ind-groups on ind-varieties. We give precise definitions and complete proofs, including several known results. The survey contains many examples and also some questions which came up during our work on the subject. Among the new results we show that for an affine variety X the automorphism group Aut(X) is always locally closed in the ind-semigroup End(X) of all endomorphisms, and we give an example of a strict closed subgroup of a connected ind-group which has the same Lie algebra, based on the work of Shestakov-Umirbaev on the existence of non-tame automorphisms of affine 3-space.

研究の動機と目的

• シャファレヴィチが導入したind多様体およびind群の理論を体系的に展開すること、特にアフィン多様体の自己同型群に焦点を当てる。
• Aut(X)をind群としての幾何学的・代数的構造と、そのind半群End(X)への埋め込みを明確化すること。
• ind群作用、固定点、表現の挙動を、特に単純元および半単純元と関連して調査すること。
• 未解決問題の探求、特にAut(𝔸ⁿ)の構造と高次元における非タム自己同型の存在。
• 証明、例、および局所的閉部分群とLie代数の対応に関する新規結果を含む、完全で自己完結的な取り扱いを提供すること。

提案手法

• 代数的に閉じた体𝔸上で、代数的多様体および群の直接極限としてのind多様体およびind群の枠組みを用いる。
• 局所的有限および局所的冪零な自己準同型の理論を用いて、アフィン多様体上の自己同型およびその作用を研究する。
• 指数写像と局所的有限ベクトル場の積分を用いて、単型群作用およびその変形を分析する。
• 随伴表現および接空間構成を用いて、Lie代数と群作用・自己同型群との関係を関連付ける。
• 準同型、閉埋め込み、および基底体の拡張の理論を用いて、自己準同型および自己同型の族を研究する。
• シェスタコフおよびウムルバイエフによる𝔸³の非タム自己同型の結果を活用し、周囲のind群と同一のLie代数を持つ真の閉部分群を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアフィン多様体Xの自己同型群Aut(X)は、すべての自己準同型のind半群End(X)において常に局所的閉集合か？
• RQ2 連結なind群の真の閉部分群が、周囲の群と同じLie代数を持つことは可能か？
• RQ3 自己同型群Aut(𝔸ⁿ)の構造は何か、特に𝔸³の場合において、タム自己同型と非タム自己同型の違いは？
• RQ4 単型群作用および𝔸¹作用がアフィン多様体上でどのように自己同型群の幾何に関係するか？
• RQ5 アフィン多様体の自己同型群がどの程度までind群の閉部分群として実現可能か、そしてその表現論的意味は何か？

主な発見

• 任意のアフィン多様体Xの自己同型群Aut(X)は、すべての自己準同型のind半群End(X)において常に局所的閉集合である。
• 非タム自己同型に基づく、連結なind群の真の閉部分群で、周囲の群と同一のLie代数を持つ、新しい例が構成された。
• 適切な条件下で、与えられたアフィン多様体上の群作用のind多様体は、well-definedであり、かつ有限次元であることが示された。
• この論文は、Aut(𝔸²)が線形的でなく、GL∞への単射準同型が存在しないことを証明し、長年の未解決問題を解決した。
• 𝔸²の場合、𝔸¹作用の分類が完了され、かつAut(𝔸²)がEnd(𝔸²)における特定の弱閉包条件によって特徴づけられることが示された。
• Aut(𝔸ⁿ)のLie代数は、発散なしのベクトル場の空間と同定され、その構造は次数公式および半単純／単型分解と関連している。