[論文レビュー] On the geometry of the moduli spaces of semistable sheaves supported on plane quartics

Jean–Marc Drézet, Mario Maican|ArXiv.org|Oct 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素射影平面における多重度4、オイラー標跡1〜4の半安定層のモジュライ空間を、局所的に閉じたストラトムに分解する。各ストラトムは、再帰的または非再帰的代数群の作用による、局票的ベクター束の準同型空間の良い商または幾何学的商として実現される。主な貢献は、これらのモジュライ空間の完全なストラティフィケーションと解体記述であり、各ストラトムに対して明示的な解体と幾何学的商が確立されており、M_{P^2}(4,4)に属する任意の層Fに対してh^0(F(-1)) ≥ 2を満たすものがないことを証明している。

ABSTRACT

We decompose each moduli space of semistable sheaves on the complex projective plane with support of dimension one and degree four into locally closed subvarieties, each subvariety being the good or geometric quotient of a set of morphisms of locally free sheaves modulo a reductive or a nonreductive group. We find locally free resolutions of length one of all these sheaves and describe them.

研究の動機と目的

• 複素射影平面における次元1、次数4の補助的サポートを持つ半安定層のモジュライ空間の幾何的構造を理解すること。
• χ = 1, 2, 3, 4 の各モジュライ空間 M_{P^2}(4,χ) を、層のコホロロジー的不変量によって定義される局所的に閉じた部分多様体（ストラトム）に分解すること。
• 各ストラトムを、局票的ベクター束の準同型空間の再帰的または非再帰的群作用による良い商または幾何学的商として実現すること。
• これらのモジュライ空間に属するすべての層に対して、長さ1の局票的解体を構成し、それらの幾何学的およびコホロロジー的性質を記述すること。

提案手法

• 層のコホロロジー的不変量 h^0(F(-1))、h^1(F)、h^0(F⊗Ω^1(1)) に基づいて、各モジュライ空間 M_{P^2}(4,χ) をストラティファイする。
• 各ストラトムに対して、対応する層Fを、O(-k) と O の直和への射影の核として実現する。
• GL(n,C) × GL(n,C) や Aut 群などの再帰的または非再帰的代数群（例：GL(3,C) × GL(2,C)）の作用を用いて、このような準同型の空間の幾何学的商を構成する。
• スネイク補題と完全系列を用いて、拡張や解体を導出し、例えば 0 → O_C(1) → F → coker(φ) → 0 のような系列を得る。
• 先行研究の結果（例：[15], [17]）を適用して問題を既知のケースに還元し、多重度4への枠組みの拡張を行う。
• 代数的拡張の議論を用いて、開部分集合上で定義された準同型を全空間に拡張し、商構成が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M_{P^2}(4,χ) のモジュライ空間は、そのパrametrizing 層のコホロロジー的不変量に基づいて、どのように局所的に閉じた部分多様体に分解できるか？
• RQ2 M_{P^2}(4,χ) の各ストラトムの幾何学的構造は何か？ また、どのように局票的ベクター束の準同型空間の商として実現できるか？
• RQ3 P^2 上の多重度4、次数4のすべての半安定層に対して、明示的な長さ1の局票的解体を構成できるか？
• RQ4 h^0(F(-1)) ≥ 2 という条件は、M_{P^2}(4,4) の幾何学的構造において果たす役割は何か？ また、このような層は存在するか？
• RQ5 M_{P^2}(4,χ) の解体と商構成は、r = 1, 2, 3 の既知の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• モジュライ空間 M_{P^2}(4,1) は、GL(3,C) × GL(2,C) × GL(1,C) の作用による、3O(-2) → 2O(-1) ⊕ O の準同型の開部分集合の良い商と同型である。
• M_{P^2}(4,2) では、ストラトムが、3O(-2) ⊕ O(-1) → 2O(-1) ⊕ 2O の準同型の空間の幾何学的商として実現され、群作用は GL(3,C) × GL(1,C) × GL(2,C) × GL(2,C) である。
• M_{P^2}(4,3) において、h^0(F(-1)) = 0 のストラトムは、GL(3,C) × GL(2,C) × GL(3,C) × GL(2,C) の作用による、3O(-2) ⊕ 2O(-1) → 3O(-1) ⊕ 2O の準同型の空間の良い商と同型である。
• M_{P^2}(4,3) において、h^0(F(-1)) = 1 のストラトムは、GL(3,C) × GL(1,C) × GL(3,C) × GL(3,C) の作用による、3O(-2) ⊕ O(-1) → 3O(-1) ⊕ 3O の準同型の空間の幾何学的商と同型である。
• 本稿では、M_{P^2}(4,4) に属する任意の層Fに対して h^0(F(-1)) ≥ 2 を満たすものがないことを証明しており、また、開ストラトム X_0 の補集合はちょうどストラトム X_1 であり、これは既約な超曲面である。
• M_{P^2}(4,4) の h^0(F(-1)) = 1 のストラトムにおいて、層Fは 0 → O_C(1) → F → coker(φ_{11}) → 0 の拡張に含まれる。ここで、C は φ_{21} と線形形式 ℓ を含む行列式表現によって定義される四次曲線である。