[論文レビュー] On the geometry of the slice of trace--free SL(2,C)-characters of a knot group

Fumikazu Nagasato, Yoshikazu Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、絡み目の外部のトレースフリーな SL(2,C)-表現の特徴多様体から、その2重分岐被覆の特徴多様体への写像 Φ を構成し、2-ブリッジ絡み目および特定のプレッツェル絡み目についてこの写像が全射であることを示している。主な結果は、トレースフリーな特徴のスライスが、2重分岐被覆の特徴多様体上への2重分岐被覆であり、分岐軌跡はメタアベル型表現に対応するメタアベル型特徴である。

ABSTRACT

Let K be a knot in an integral homology 3-sphere and let B denote the 2-fold branched cover of the integral homology sphere branched along K. We construct a map from the slice of characters with trace free along meridians in the SL(2, C)-character variety of the knot exterior to the SL(2, C)-character variety of 2-fold branched cover B. When this map is surjective, it describes the slice as the 2-fold branched cover over the SL(2, C)-character variety of B with branched locus given by the abelian characters, whose preimage is precisely the set of metabelian characters. We show that each of metabelian character can be represented as the character of a binary dihedral representation of the knot group. This map is shown to be surjective for all 2-bridge knots and all pretzel knots of type (p, q, r). An extension of this framework to n-fold branched covers is also described.

研究の動機と目的

• 絡み目の外部の SL(2,C)-表現とその有限巡回被覆、特に2重分岐被覆との関係を理解すること。
• 絡み目の外部の特徴多様体のスライス S₀(E_K) から2重分岐被覆の特徴多様体への写像 Φ を定義し、その分析を行うこと。
• この写像の像を特徴づけ、分岐軌跡がアーベル型特徴の集合であることを特定すること。アーベル型特徴の逆像はメタアベル型特徴である。
• メタアベル型特徴が絡み目の群の二面体型表現から生じることを示すこと。
• 2-ブリッジおよび (p,q,r)-プレッツェル絡み目について、特徴への誘導写像が全射であることを確立すること。

提案手法

• 絡み目の群 π₁(E_K) のトレースゼロのミリディアンをもつ SL(2,C)-表現から、2重分岐被覆 B₂ の基本群 π₁(B₂) の表現への写像 Φ を定義する。
• 特徴多様体上の誘導写像  Φ̂ を構成し、トレースフリーな特徴のスライス S₀(E_K) に制限する。
• 2-ブリッジおよびプレッツェル絡み目の π₁(B₂) の表示を用い、特にプレッツェル絡み目の場合に Brieskorn 多様体構造を活用する。
• 被覆変換 τ が π₁(B₂) 上に作用する様子を分析し、非可約表現が τ-不変であることを示し、τ*-不変性を導く。
• Φ̂ の像が X(B₂) の τ-不変部分集合であることを証明し、X(B₂) のすべてのアーベル型および非可約特徴が像に含まれることを示す。
• 行列 k = [[0,√-1],[√-1,0]] を用いた共役作用により、非可約表現の τ-不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースゼロのミリディアンをもつ絡み目の外部の特徴多様体と、その2重分岐被覆の特徴多様体との関係は何か？
• RQ2 絡み目の群のトレースフリーな SL(2,C)-特徴のスライスの幾何的構造は何か？
• RQ3 2重分岐被覆の特徴のうち、どの特徴が絡み目の外部からのメタアベル型表現の像として得られるか？
• RQ4 写像 Φ̂ がトレースフリーな特徴スライスから2重分岐被覆の特徴多様体への写像として全射である条件は何か？
• RQ5 絡み目の群のメタアベル型特徴は、二面体型表現の特徴として実現可能か？

主な発見

• すべての2-ブリッジ絡み目について、トレースフリー特徴スライス S₀(E_K) から X(B₂) への写像 Φ̂ は全射である。
• すべての型 (p,q,r) のプレッツェル絡み目について、Φ̂ は全射である。これは B₂ が Brieskorn 多様体構造を持つことによる。
• スライス S₀(E_K) は、X(B₂) 上への2重分岐被覆であり、分岐軌跡は正確にアーベル型特徴の集合である。
• Φ̂ によるアーベル型特徴の逆像は、正確に絡み目の群のメタアベル型特徴の集合である。
• 各メタアベル型特徴は、π₁(E_K) の二面体型表現の特徴として生じる。
• π₁(B₂) の非可約表現は τ-不変である。これは X_irr(B₂) が Φ̂ の像に含まれることを示唆する。