[論文レビュー] On the geometry of the space of fibrations

Vincent Humilière, Nicolas Roy|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Genetic Neurodegenerative Diseases参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、多様体 M と B 間のファイブレーションの空間の幾何構造を、Fréchet多様体理論を用いて調査する。各連結成分が、全空間が Diff(M) の単位成分である Fréchet滑らかさを持つ主バンドルの底空間であることが示され、さらにファイブレーションの空間自体が、構造群が Diff(B) である滑らかな Fréchet主バンドルの全空間であることも示している。主な貢献は、ファイブレーションの空間が、多様体 M と B の微分同相群を通じて、二重の双対的な方法で主バンドルとして同定されることであり、これにより微分同相群を介したその内在的な幾何構造が明らかになる。

ABSTRACT

We study geometrical aspects of the space of fibrations between two given manifolds $M$ and $B$, from the point of view of Fréchet geometry. As a first result, we show that any connected component of this space is the base space of a Fréchet-smooth principal bundle with the identity component of the group of diffeomorphisms of $M$ as total space. Second, we prove that the space of fibrations is also itself the total space of a smooth Fréchet principal bundle with structure group the group of diffeomorphisms of the base $B$ .

研究の動機と目的

• 固定された二つの多様体 M と B 間のファイブレーションの空間の幾何的構造を理解すること。
• Fréchet多様体の枠組みと無限次元微分幾何学を用いて、この空間を分析すること。
• ファイブレーションの空間が、微分同相群を構造群とする自然なバンドル構造を備えているかどうかを特定すること。
• Fréchet多様体の圏において、二重のバンドル構造（一方を底空間として、他方を全空間として）を確立すること。

提案手法

• ファイブレーションの空間を無限次元多様体としてモデル化するため、Fréchet幾何学を用いる。
• Diff(M) の単位成分がファイブレーションの空間に作用することにより、主バンドル構造を構成する。
• ファイブレーションの空間が、構造群が B の微分同相群である Fréchet主バンドルの全空間であることを示す。
• ファイブレーションの空間の連結成分とそのバンドル論的性質を分析する。
• 無限次元リー理論および微分同相群の作用の道具を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの多様体 M と B 間のファイブレーションの空間は、Fréchetの意味で滑らかな多様体構造を備えうるか？
• RQ2 ファイブレーションの空間は、自然に、構造群が Diff(M) である主バンドルとして、その連結成分上に構造を持つのか？
• RQ3 ファイブレーションの空間自体は、構造群が B の微分同相群である主バンドル構造を備えうるか？
• RQ4 多様体 M と B の微分同相群は、ファイブレーションの空間にどのように作用し、これらのバンドル構造を生じさせるのか？

主な発見

• ファイブレーションの空間の各連結成分は、全空間が Diff(M) の単位成分である Fréchet滑らかさを持つ主バンドルの底空間である。
• ファイブレーションの空間全体は、構造群が底多様体 B の微分同相群に等しい滑らかな Fréchet主バンドルの全空間である。
• ファイブレーションの空間は、全空間 M の微分同相群と底空間 B の微分同相群の両方を介した二重の双対的バンドル構成を通じて、豊かな幾何的構造を内包する。
• これらの結果により、ファイブレーションの空間が単なる位相空間ではなく、標準的なバンドル論的性質を備えた構造化された無限次元多様体であることが確立される。