[論文レビュー] On the geometry of V-systems

Misha Feigin, А. П. Веселов|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、WDVV方程式の理論に現れる実$∫$-系の幾何的一般化として、複素$∫$-系を導入し、その性質を研究する。本稿では、$∫$-系の部分系および制限が、再び$∫$-系であることを証明し、退化する標準形式を含む場合を許容する複素ユークリッド$∫$-系を導入し、基本的古典的リー超代数から新たな例を提供する。

ABSTRACT

We consider a complex version of the $\vee$-systems, which appeared in the theory of the WDVV equation. We show that the class of these systems is closed under the natural operations of restriction and taking the subsystems and study a special class of the $\vee$-systems related to generalized root systems and basic classical Lie superalgebras.

研究の動機と目的

• 複素設定における$∫$-系の理論を拡張し、WDVV方程式に関連する実$∫$-系を一般化すること。
• 複素$∫$-系のクラスが部分系および制限に関して閉じていることを確立すること。これはコクセター根系には共通しない性質である。
• 退化する標準形式を許容する複素ユークリッド$∫$-系を導入し、それらを一般化された根系および基本的古典的リー超代数に関連付けること。
• 部分空間上の双線形形式の比例性に基づいて、$∫$-系の幾何的特徴づけを提供すること。
• 次元3におけるすべての既知の非可約$∫$-系を分類し、1パラメータ族および複数の族が交わる特殊点を含めてリストすること。

提案手法

• 複素ベクトル空間$V$上での非退化な双線形形式$G_{\mathcal{A}}(x,y) = \sum_{\alpha \in \mathcal{A}} \alpha(x)\alpha(y)$を用いて、複素$∫$-系を定義し、$\varphi_{\mathcal{A}}: V \to V^*$を定める同型写像を誘導する。
• 双対ベクトル$\alpha^\vee = \varphi_{\mathcal{A}}^{-1}(\alpha)$を導入し、$∫$-条件を定義する：任意の$\alpha \in \mathcal{A}$および$\alpha$を含む2次元部分空間$\pi \subset V^*$に対して、$\sum_{\beta \in \pi \cap \mathcal{A}} \beta(\alpha^\vee) \beta^\vee = \lambda \alpha^\vee$が、ある$\lambda$に対して成り立つこと。
• $∫$-条件と、$\pi^\vee \times V$上での制限形式$G_\Pi|_{\pi^\vee \times V}$と$G_{\mathcal{A}}|_{\pi^\vee \times V}$の比例性との同値性を確立する。
• 幾何的および代数的議論を用いて、弱い仮定の下で$∫$-系の制限および部分系が再び$∫$-系であることを証明する。
• 標準形式$G_{\mathcal{A}}$が（退化する可能性のある）ユークリッド形式に比例する場合に、複素ユークリッド$∫$-系を定義し、このような系が一般化された根系の許容可能な変形から生じることを示す。
• 基本的古典的リー超代数から例を構成する：偶数根と虚数単位$i = \sqrt{-1}$倍された奇数根の集合をとり、それが複素ユークリッド$∫$-系をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素設定において、$∫$-系のクラスは部分系および制限に関して閉じているか？
• RQ2 標準形式が退化する場合に、$∫$-系の幾何的構造を拡張できるか？
• RQ3 複素$∫$-系と基本的古典的リー超代数の根系との関係は何か？
• RQ4 標準形式が退化する場合に、複素$∫$-系はWDVV方程式の解とどのように関係するか？
• RQ5 次元3における非可約$∫$-系の完全な分類は何か？また、既知の族どうしがどのように交わるか？

主な発見

• 複素$∫$-系のクラスは、部分系および制限に関して閉じており、これはコクセター根系には共通しない非自明な性質である。
• 複素$∫$-系は非退化な標準形式$G_{\mathcal{A}}$を介して定義され、$∫$-条件が成り立つのは、2次元部分空間上での制限形式が比例する場合に限り、同値である。
• 標準形式$G_{\mathcal{A}}$が（退化する可能性のある）ユークリッド形式に比例する場合に、複素ユークリッド$∫$-系を定義し、このような系は一般化された根系の許容可能な変形から得られる。
• 任意の基本的古典的リー超代数$\mathfrak{g}$に対して、偶数根および$i$倍された奇数根からなる集合$\mathcal{A}_{\mathfrak{g}}$は、複素ユークリッド$∫$-系をなす。
• 標準形式が恒等的にゼロである場合、関連する汎化関数はWDVV方程式の解を生まない。なぜなら、すべての$F_i$行列の線形結合が退化するからである。
• 次元3において、すべての既知の非可約$∫$-系は、$A_3(c)$、$B_3(\gamma;c)$、$D_3(t,s)$、$F_3(t)$といった1パラメータ族に分類され、$P = B_3(-1;1,1,2)$のような特殊点は複数の族の交点を表す。