[論文レビュー] On the Global Behavior of Solutions to a Planar System of Difference Equations

Sukanya Basu, Orlando Merino|ArXiv.org|Dec 17, 2008

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、移民を伴う競争的生物学的相互作用をモデル化する有理差分方程式の平面的系のグローバルダイナミクスを分析している。各種の成長は、種内および種間競争によって制御される。臨界曲線解析と局所安定性基準を用いて、著者らは、平衡解の数（1つ、2つ、または3つ）がグローバルな挙動を一意に決定することを証明している。1つの平衡解はグローバル漸近安定性を示し、3つの平衡解は2つの局所的吸引子と1つのサドルから構成され、南東部分順序によって順序付けられる。

ABSTRACT

We establish the relation between local stability of equilibria and slopes of critical curves for a specific class of difference equations. We then use this result to give global behavior results for nonnegative solutions of the system of difference equations \begin{equation*} % ag{LGIN} \begin{array}{rcl} x_{n+1} & = & \displaystyle \frac{b_1 x_n}{1+x_n+c_1 y_{n}} +h_1 y_{n+1} & = & \displaystyle \frac{b_2 y_n}{1+y_n+c_2 x_{n}} +h_2 \end{array} \quad n=0,1,..., \quad (x_0,y_0) \in [0,\infty) imes [0,\infty) \end{equation*} with positive parameters. In particular, we show that the system has between one and three equilibria, and that the number of equilibria determines global behavior as follows: if there is only one equilibrium, then it is globally asymptotically stable. If there are two equilibria, then one is a local attractor and the other one is nonhyperbolic. If there are three equilibria, then they are linearly ordered in the south-east ordering of the plane, and consist of a local attractor, a saddle point, and another local attractor. Finally, we give sufficient conditions for having a unique equilibrium.

研究の動機と目的

• 平面差分方程式における平衡解の局所安定性と臨界曲線の傾きとの間に幾何的基準を確立すること。
• 移民項（正の定数 h₁, h₂ を含む）を有する修正された Leslie-Gower モデルのグローバルダイナミクスを分析すること。
• 非負の初期条件に対するグローバル漸近的挙動が、平衡解の数（1、2、または3）によってどのように支配されるかを特定すること。
• 系に一意の平衡解が存在するための十分条件を提示すること。

提案手法

• 臨界曲線の幾何的解析とヤコビアンの符号配置を用いて、平衡解の局所安定性条件を導出する。
• 変数スケーリングを用いて元の系を正規化形式（LGIN）に変換し、解析を簡略化する。
• ベズォウの定理と四次方程式・三次方程式の根の解析を用いて、平衡解の数と符号構造を特定する。
• 正の第1象限における平衡解の順序と安定性を分析するために、南東部分順序（≤se）を適用する。
• 変数変換（x = X + h₁, y = Y + h₂）を用いて、変換された座標系における平衡解集合を研究する。
• 得られた多項方程式の根の符号構造を分析し、不可能な平衡解配置を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系における平衡解の数が、解のグローバル安定性および吸引性にどのように影響するか？
• RQ2 どの幾何的または代数的条件が、平衡解が局所安定、非双曲的、またはサドルであるかを決定するか？
• RQ3 系が複数のグローバル吸引平衡解を有する可能性はあり、そのような状況はどのようなパrameter条件のもとで生じるか？
• RQ4 どのような条件下で系に一意の平衡解が存在し、それがグローバル漸近安定であるか？
• RQ5 移民項（h₁, h₂）と競争係数（c₁, c₂）は、平衡解の数と安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 系に1つの平衡解しか存在しない場合、すべての非負の初期条件に対してそれがグローバル漸近安定である。
• 2つの平衡解が存在する場合、片方は局所的吸引子であり、もう片方は非双曲的で安定多様体を持たない。
• 3つの平衡解が存在する場合、それらは南東部分順序において線形に順序付けられ、2つの局所的吸引子と1つのサドル点から成る。
• 系に最大3つの平衡解が存在でき、それらの符号構造はベズォウの定理と根の積解析によって制約を受ける。
• c₁c₂ > 1 のとき、または c₁c₂ ≤ 1 かつ変換された系において特定の三次または四次方程式が正の根をちょうど1つもつとき、一意の平衡解が存在する。
• 一意の平衡解が存在するための十分条件は、c₁c₂ > 1 であるか、または c₁c₂ ≤ 1 かつ導出された多項方程式の根積に特定の符号配置がある場合である。