[論文レビュー] On the global Gross-Prased conjecture for Yoshida liftings

Siegfried Böcherer, Masaaki Furusawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、定値的クaternion代数から得られるヨシダ上りの形として現れる、レベルが正の平方自由な2次スiegelモジュラー尖域形式を、2つの複素上半平面の積に制限したものの、2つの楕円尖域形式の積に対するペトソン内積を計算する。この内積の二乗が、関連するL関数の中心臨界値の明示的倍数に等しいことを示し、特殊直交群の自動表現に関するグロス＝プラザード予想に対する証拠を提供する。

ABSTRACT

We restrict a Siegel modular cusp form of degree 2 and square free level that is a Yoshida lifting (a lifting from the orthogonal group of a definite quaternion algebra) to the embedded product of two half planes and compute the Petersson product against the product of two elliptic cuspidal Hecke eigenforms. The square of this integral can be explicitly expressed in terms of the central critical value of an L-function attached to the situation. The result is related to a conjecture of Gross and Prasad about restrictions of automorphic representations of special orthogonal groups.

研究の動機と目的

• 2次で平方自由なレベルを持つスiegelモジュラー尖域形式の、2つの複素上半平面の積への制限の算術的意義を調査すること。
• この制限形と2つの楕円尖域ヘッケ特徴形式の積とのペトソン内積を計算すること。
• この内積の二乗を、グロス＝プラザード予想の文脈において、あるL関数の中心臨界値に関連付けること。
• 特殊直交群の自動表現に関するグロブナル・グロス＝プラザード予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 2次で平方自由なレベルを持つスiegelモジュラー尖域形式を、2つの複素上半平面の積に制限する。
• この制限形と2つの楕円尖域ヘッケ特徴形式の積とのペトソン内積を計算する。
• 定値的クォータニオン代数の直交群からのヨシダ上りに関する既知の結果を適用し、この形式を上りとして表現する。
• L関数の理論を用いて、内積の二乗を自動表現に付随するL関数の中心臨界値に関連付ける。
• 自動表現の構造とその特殊直交群への制限を用いて、グロス＝プラザード予想に接続する。
• 平方自由なレベルとヨシダ上りによる尖域形式の構成を活用し、算術的制御と明示的計算を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの上半平面の積に制限されたヨシダ上りのペトソン内積が、2つの楕円尖域形式の積とペアリングされたとき、どのように振る舞うか。
• RQ2 この内積の二乗を、あるL関数の中心臨界値の形で表現できるか。
• RQ3 スiegelモジュラー形式の制限と、それによって生成される自動表現との間の明確な算術的関係は何か。
• RQ4 この計算は、特殊直交群に関するグロブナル・グロス＝プラザード予想をどのように支持または精緻化するか。
• RQ5 平方自由なレベルと定値的クォータニオン代数は、内積の明示的計算を可能にする上で果たす役割は何か。

主な発見

• 制限されたスiegelモジュラー尖域形式と2つの楕円尖域形式の積とのペトソン内積の二乗が、あるL関数の中心臨界値の明示的倍数として明示的に表現される。
• そのL関数の中心臨界値は、ヨシダ上りから生じる自動表現の算術的性質と直接的に関連している。
• この結果は、2次スiegelモジュラー形式とSO(n)表現への制限の文脈において、グロス＝プラザード予想の具体的な実現を提供する。
• この計算は、直交群上の自動形式と、それらの特殊直交群への制限との間の明確な算術的関係を確立する。
• 平方自由なレベルと定値的クォータニオン代数の使用により、形式がヨシダ上りであることが保証され、内積の明示的評価が可能になる。
• 本手法により、内積の非消滅基準が、中心L値の非消滅性の観点から定量的に明示的な式として得られる。