[論文レビュー] On the global solution problem for semilinear generalized Tricomi equations, I

Daoyin He, Ingo Witt+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、半線形一般化トリコミ方程式 $ \partial_t^2 u - t^m \Delta u = |u|^p $ に対して、臨界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $ の存在を確立し、$ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ の場合に有限時刻 blowup を示している。また、$ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $ である conformal 係数が存在し、$ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ のとき小データ解が時間全域で存在することを示している。この解析は、重み付き関数空間枠組み内でのストリッカーツ推移と反復的 $ L^p $-ベースの議論を用いている。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the global Cauchy problem for the semilinear generalized Tricomi equation $\partial_t^2 u-t^m Δu=|u|^p$ with initial data $(u(0,\cdot), \partial_t u(0,\cdot))= (u_0, u_1)$, where $t\geq 0$, $x\in{\mathbb R}^n$ ($n\ge 3$), $m\in\mathbb N$, $p&gt;1$, and $u_i\in C_0^{\infty}({\mathbb R}^n)$ ($i=0,1$). We show that there exists a critical exponent $p_{ ext{crit}}(m,n)&gt;1$ such that the solution $u$, in general, blows up in finite time when $1 p_{ ext{crit}}(m,n)$ such that the solution $u$ exists globally when $p&gt;p_{ ext{conf}}(m,n)$ provided that the initial data is small enough. In case $p_{ ext{crit}}(m,n)

研究の動機と目的

• 半線形一般化トリコミ方程式の解が $ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ のとき有限時刻で爆発することを示す、臨界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $ を特定すること。
• 小データ解が $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ のとき時間全域で存在するような、$ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $ である conformal 係数を同定すること。
• 中間範囲 $ p_{\text{crit}}(m,n) < p \leq p_{\text{conf}}(m,n) $ における小データ解のグローバル存在を示すための解析的基盤を構築すること。この問題は、後続の論文で取り上げられる。
• 標準的波動方程式および散乱波動方程式の結果を一般化し、時間に依存する係数 $ t^m \Delta u $ を持つ場合に、ストラウス予想の枠組みを拡張すること。

提案手法

• 著者らは、重みが $ m $ および $ n $ に依存する $ L^r $-ベースの関数空間における解を構築するために、逐次的近似 $ u_k $ の系列を用いている。
• 非線形項の正則性を制御するために、Riesz 作用素 $ |D_x|^{\sigma} $ を含む重み付き $ L^p $-ノルムを用いている。
• 非線形項 $ |u_k|^p $ を $ u_k $ の分数階微分で推定するために、Kato 型不等式の変種 (4.12) を適用する重要なステップが含まれる。
• 小データの仮定の下で、$ u_k $ の重み付き $ L^q $-ノルムの上界である $ M_k $ の一様有界性に依存した証明がなされている。
• 収束性は、$ N_{k+1} \leq \frac{1}{2} N_k $ の境界を用いた収縮性議論により、$ L^{q_0} $ 内で $ u_k $ の収束を確立している。
• ストリッカーツ型推移と Lorentz 型空間における補間技法を組み合わせた解析がなされている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形一般化トリコミ方程式において、有限時刻爆発と潜在的グローバル存在を分ける臨界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) $ は何か？
• RQ2 小データ解が $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ のとき時間全域で存在するような、$ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $ である conformal 係数が存在するか？
• RQ3 主部に $ t^m $ を含む時間に依存する係数 $ t^m \Delta u $ は、標準的波動方程式と比較して、存在性および爆発行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 変数係数 $ t^m \Delta u $ を持つ方程式に対し、ストラウス予想の枠組みを拡張できるか？
• RQ5 中間範囲 $ p_{\text{crit}}(m,n) < p \leq p_{\text{conf}}(m,n) $ におけるグローバル存在の正確な閾値は何か？ そして、反復的技法によってどのように到達されるか？

主な発見

• 有限時刻での爆発を示す臨界指数 $ p_{\text{crit}}(m,n) > 1 $ が存在し、$ 1 < p < p_{\text{crit}}(m,n) $ のとき一般化トリコミ方程式の解は通常、有限時刻で爆発する。
• 小データ解が $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ のとき時間全域で存在するような、$ p_{\text{conf}}(m,n) > p_{\text{crit}}(m,n) $ である conformal 係数が存在する。
• 整数 $ p $ に対して $ p \geq \frac{(m+2)(n-2)+6}{(m+2)(n-2)-2} $ が成り立つとき、$ p_{\text{crit}}(m,n) = \frac{(m+2)(n-2)+6}{(m+2)(n-2)-2} $ を満たす。
• $ p > p_{\text{conf}}(m,n) $ のとき、解 $ u $ は $ L^{q_0} $ 内で収束する反復的スキームによりグローバルに存在することが示され、$ M_k $ の一様有界性が保証されている。
• 非線形項 $ |u|^p $ の制御には、精密化されたストリッカーツ型推移と分数階微分不等式 (4.12) に依存した証明が用いられている。
• 反復列 $ u_k $ が解 $ u $ に収束することが、収縮性議論により確立されており、小データの下で $ \|u_{k+1} - u_k\|_{L^{q_0}} \leq \frac{1}{2} \|u_k - u_{k-1}\|_{L^{q_0}} $ が成り立つ。