[論文レビュー] On the global solvability of the axisymmetric Boussinesq system with critical regularity

Haroune Houamed, Mohamed Zerguine|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 50被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期速度が $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $ で初期密度が $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $ である3次元軸対称Boussinesq系について、臨界正則性条件下で大域的良設定性を確立する。$ L^p_t(L^q_x) $-型フレームワークをNavier-Stokes解析に由来するものに精緻化し、Besov空間におけるGronwall型推移を用いることで、拡散係数がゼロであるにもかかわらず大域的解の存在と一意性を達成した。これは[14, 24]の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

The current paper is principally motivated by establishing the global well-posedness to the three-dimensional Boussinesq system with zero diffusivity in the setting of axisymmetric flows without swirling with $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$ and density $\ ho_0\\in L^2(\\mathbb{R}^3)\\cap \\dot{B}^{0}_{3,1}(\\mathbb{R}^3)$. This respectively enhances the two results recently accomplished in \\cite{Danchin-Paicu1, Hmidi-Rousset}. Our formalism is inspired, in particular for the first part from \\cite{Abidi} concerning the axisymmetric Navier-Stokes equations once $v_0\\in H^{\\frac12}(\\mathbb{R}^3)$ and external force $f\\in L^2_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};H^{\\beta}(\\mathbb{R}^3)\\big)$, with $\\beta>\\frac14$. This latter regularity on $f$ which is the density in our context is helpless to achieve the global estimates for Boussinesq system. This technical defect forces us to deal once again with a similar proof to that of \\cite{Abidi} but with $f\\in L^{\\beta}_{loc}\\big(\\mathbb{R}_{+};L^2(\\mathbb{R}^3))$ for some $\\beta>4$. Second, we explore the gained regularity on the density by considering it as an external force in order to apply the study already obtained to the Boussinesq system.

研究の動機と目的

• 初期データに最小限の正則性仮定を置いた場合に、3次元軸対称Boussinesq系が零拡散係数を有する場合の大域的良設定性を確立すること。
• [14, 24]の先行結果を拡張し、速度に対して臨界空間 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $、密度に対して $ L^2 \cap \dot{B}^{0}_{3,1} $ の初期データを扱うこと。
• 標準的な $ H^\beta $ 型の力項推移が失敗する状況において、拡散係数の欠如という技術的困難を乗り越えるために、密度を外部力項として取り扱い、精緻化された $ L^p_t(L^q_x) $ 推移を適用すること。
• Boussinesq系に特化した[1]の手法を改変した新規フレームワークを構築し、臨界Besovノルムにおける速度と密度の推移を可能にすること。

提案手法

• 初期データが $ H^\beta $ ではなく、$ f \in L^\beta_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; L^2) $（$ \beta > 4 $）を満たすという条件のもとで、[1]の軸対称Navier-Stokes方程式に対する $ L^p_t(L^q_x) $-型フレームワークをBoussinesq系に適応し、密度を力項として扱う。
• Bonyのパラプロダクト分解とLittlewood-Paley理論を用いて、$ \dot{B}^{1}_{3,1} $ および $ \dot{B}^{0}_{3,1} $ 空間における非線形項を推定する。
• 量 $ \mathcal{V}(t) = \|v\|_{=\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} $ に対してGronwallの不等式を適用し、初期データおよびエネルギー型ノルムに依存する $ \mathcal{A}(t) $ と $ \mathcal{B}(t) $ を用いて、時間に指数関数的に依存する境界を得る。
• $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ における $ v $ と $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ における $ \rho $ の制御を、反復的推移と埋め込み定理によって確立する。
• エネルギーとBesov空間ノルムの橋渡しに、埋め込み $ E_T(H^{1/2}) \hookrightarrow L^4_T(\dot{H}^1) $ を用いる。
• 2つの解の差を $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ で推定することで、双線形構造に依存しない形で一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データに臨界正則性仮定を置いた場合に、零拡散係数を有する3次元軸対称Boussinesq系の大域的良設定性を確立できるか？
• RQ2 標準的な $ H^\beta $ 力項推移が失敗する状況において、拡散係数の欠如をどのように解析で克服できるか？
• RQ3 非線形項の滑らかさが欠如する密度方程式において、臨界Besovノルムにおける速度と密度の制御を可能にする、どのような精緻化された関数空間フレームワークが必要か？
• RQ4 臨界空間設定 $ H^{1/2} \cap \dot{B}^0_{3,1} \times L^2 \cap \dot{B}^0_{3,1} $ において、解は一意的か？
• RQ5 力項（密度）が $ H^\beta $ の代わりに $ L^\beta_t(L^2_x) $（$ \beta > 4 $）に属する場合、Navier-Stokes方程式に用いられた手法をBoussinesq系に適応できるか？

主な発見

• 初期データ $ v_0 \in H^{1/2}(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $ および $ \rho_0 \in L^2(\mathbb{R}^3) \cap \dot{B}^0_{3,1}(\mathbb{R}^3) $ のもとで、3次元軸対称Boussinesq系が零拡散係数を有する場合に大域的解の存在と一意性が確立された。
• 速度は $ \|v\|_{\widetilde{L}^1_t(\dot{B}^1_{3,1})} \lesssim \mathcal{A}(t) e^{t \mathcal{B}(t)} $ を満たし、$ \mathcal{A}(t) $ と $ \mathcal{B}(t) $ はすべての $ t < \infty $ に対して有限であるため、時間全域にわたる制御が保証された。
• 密度は $ \widetilde{L}^\infty_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ で有界であり、Gronwall型推移によって速度は $ \widetilde{\mathcal{E}}_t(\dot{B}^0_{3,1}) $ で制御された。
• 標準的な $ H^\beta $ 偽力項仮定がこの文脈で失敗するため、[1]の手法から見直された $ L^p_t(L^q_x) $-型推移（$ \beta > 4 $）を用いることで、力項（密度）に対する推移を精緻化した。
• 双線形構造に依存しない形で、2つの解の差を $ \dot{B}^{-1}_{3,1} \times \dot{B}^{-1}_{3,1} $ で推定することで、臨界空間枠組みにおいて一意性を確立した。
• 本手法により、[14, 24]の結果が、零拡散係数を有する臨界正則性領域において、初期データの小規模性や軸対称性に加えて「渦なし」の追加対称性を除く限り、拡張された。