[論文レビュー] On the Global Structure of Deformed Yang-Mills Theory and QCD(adj) on $\mathbb R^3 imes \mathbb S^1$

Mohamed M. Anber, Erich Poppitz|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上の変形ヤン・ミルズ理論およびQCD(adj)のグローバル構造を、1次元中心対称性の$\mathbb{Z}_k$部分群を規約化することによって、異なる$SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ゲージ理論（離散的$\theta$-角で異なる）がどのように生じるかを分析することによって調査する。ドメインウォールとコンfinementストリングを用いて、真空構造の物理的描写を行い、中心対称性が電磁気的自由度にどのように作用するかを明らかにし、異なる基底状態を特定する。主な結果として、有限温度のコンパクト化における脱コンfinement転移付近で、有効なクラマー＝ヴァーナー双対性が出現することが判明する。

ABSTRACT

Spatial compactification on $\mathbb R^{3} imes \mathbb S^1_L$ at small $\mathbb S^1$-size $L$ often leads to a calculable vacuum structure, where various "topological molecules" are responsible for confinement and the realization of the center and discrete chiral symmetries. Within this semiclassically calculable framework, we study how distinct theories with the same $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ gauge group (labeled by "discrete $θ$-angles") arise upon gauging of appropriate $\mathbb Z_k$ subgroups of the one-form global center symmetry of an $SU(N_c)$ gauge theory. We determine the possible $\mathbb Z_k$ actions on the local electric and magnetic effective degrees of freedom, find the ground states, and use domain walls and confining strings to give a physical picture of the vacuum structure of the different $SU(N_c)/\mathbb Z_k$ theories. Some of our results reproduce ones from earlier supersymmetric studies, but most are new and do not invoke supersymmetry. We also study a further finite-temperature compactification to $\mathbb R^{2} imes \mathbb S^1_β imes\mathbb S^1_L$. We argue that, in deformed Yang-Mills theory, the effective theory near the deconfinement temperature $β_c \gg L$ exhibits an emergent Kramers-Wannier duality and that it exchanges high- and low-temperature theories with different global structure, sharing features with both the Ising model and $S$-duality in ${\cal N}$$=$$4$ supersymmetric Yang-Mills theory.

研究の動機と目的

• $SU(N_c)$ヤン・ミルズ理論における1次元中心対称性の$\mathbb{Z}_k$部分群を規約化することによって、同じ$su(N_c)$リーレイのLie代数を持つ異なる$SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ゲージ理論がどのように生じるかを体系的に分析すること。
• $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上のドメインウォールとコンfinementストリングを用いて、これらの理論における真空構造の物理的解釈を提供すること。
• 有効理論における$\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上の局所的電磁気的自由度および磁気的自由度に対するゼロ形式中心対称性の作用を特定すること。
• $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ への有限温度コンパクト化におけるグローバル構造の役割を調査し、出現する双対性を同定すること。
• 以前の超対称的フレームワークを超えて、非超対称的理論におけるグローバル構造の理解を拡張すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上でのドメインウォールとコンfinementストリングの相互作用を分析し、$SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$理論における真空構造を特徴付ける。
• 新しい座標$\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$への線形変換を介して、有効理論における中心対称性の電磁気的自由度および磁気的自由度への作用を導出する。
• 個々の格子を対角化し、$\mathbb{Z}_k$ゲージ群の基本領域を単純化するために、双対ベクトル$\boldsymbol{\cal C}_i$を用いる。
• $\mathbb{Z}_k$中心対称性の下での真空の変換性を分析することにより、相互に局所的かつゲージ不変な演算子を構成する。
• $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 上の脱コンフィネメント転移付近の有効理論を研究し、出現するクラマー＝ヴァーナー双対性を特定する。
• $\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$座標におけるポテンシャルの極小点を計算し、$k_a$の異なる値の下での真空の分類により、異なる$\mathbb{Z}_k$-ねじれ理論を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ$\mathfrak{su}(N_c)$リーマン代数を持つ異なる$SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$ゲージ理論が、1次元中心対称性の$\mathbb{Z}_k$部分群を規約化することによってどのように生じるか。
• RQ2 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上の$SU(N_c)/\mathbb{Z}_k$理論の真空構造を区別するためのドメインウォールとコンfinementストリングの物理的役割は何か。
• RQ3 $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^1$ 上の有効理論における局所的電磁気的自由度および磁気的自由度に対するゼロ形式中心対称性の作用は何か。
• RQ4 $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ 上の脱コンフィネメント転移付近の有効理論の性質は何か。また、それには出現する双対性があるか。
• RQ5 離散的$\theta$-角が同じゲージ群とリーマン代数を持つ異なる理論をどのようにラベル付けするか。また、それらは真空構造にどのように影響を与えるか。

主な発見

• $SU(4)/\mathbb{Z}_2$ では、$\mathbb{Z}_2$中心対称性が真空に非自明に作用し、$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ のとき、16個の異なる真空が8個に減少する。これは$[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_0$理論に対応する。
• $k_1 = 1, k_2 = k_3 = 0$ のとき、中心対称性は真空をペアで同定する——$1 \leftrightarrow 4$、$2 \leftrightarrow 6$、$3 \leftrightarrow 7$、$5 \leftrightarrow 8$——これにより4つの異なる真空が得られ、$[SU(4)/\mathbb{Z}_2]_1$理論に対応する。
• $SU(4)/\mathbb{Z}_2$ の$\mathbb{Z}_2$群格子の基本領域は、$\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$座標における単位ベクトルで囲まれた立方体に修正され、極小点と対称性作用の解析が簡略化される。
• 変換行列$TAT^{-1}$は、中心対称性が$\tilde{\boldsymbol{\sigma}}$座標に非自明に作用することを明示しており、固有値$-1, 1, -1$は非自明なシフトと反射構造を示している。
• $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{S}^1_\beta \times \mathbb{S}^1_L$ への有限温度コンパクト化において、脱コンフィネメント転移$\beta_c \gg L$付近の有効理論は、高温・低温領域を交換する出現するクラマー＝ヴァーナー双対性を示す。この双対性は、異なるグローバル構造を有する。
• この双対性は2次元イジング模型と$\mathcal{N}=4$ SYMにおける$S$-双対性の両方の特徴を共有しており、ゲージ理論の非摂動的力学における普遍的構造を示唆している。