[論文レビュー] On the good filtration dimension of Weyl modules for a linear algebraic group

Alison E. Parker|ArXiv.org|Jul 27, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正の特性を持つ代数的線形群におけるWeylおよび誘導モジュールのWeylフィルトレーション次元を計算し、正則な重みに対して、Ext群 $\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ が $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$ のときに成り立つことを確立する。これにより、一般化されたシュール代数における射影的および単射的次元の正確な公式が得られ、$p>n$ または $S(mp,p)$ のときの $S(n,r)$ のグローバル次元はWeylフィルトレーション次元の2倍であることが示される。

ABSTRACT

Let G be a linear algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p whose corresponding root system is irreducible. In this paper we calculate the Weyl filtration dimension of the induced G-modules, abla(λ) and the simple G-modules L(λ), for λa regular weight. We use this to calculate some Ext groups of the form Ext^*( abla(λ),Δ(μ)), Ext^*(L(λ),L(μ)), and Ext^*( abla(λ), abla(μ)), where λ, μare regular and Δ(μ) is the Weyl module of highest weight μ. We then deduce the projective dimensions and injective dimensions for L(λ), abla(λ) and Δ(λ) for λa regular weight in associated generalised Schur algebras. We also deduce the global dimension of the Schur algebras for GL_n, S(n,r), when p>n and for S(mp,p) with m an integer.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体の特性 $p$ を持つ線形代数的群 $G$ における正則な重み $\lambda$ に対して、誘導モジュール $\nabla(\lambda)$ および単純モジュール $L(\lambda)$ のWeylフィルトレーション次元（wfd）を計算すること。
• 正則な重み $\lambda, \mu$ に対して、Ext群 $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))$、$\operatorname{Ext}^*(L(\lambda),L(\mu))$、および $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\nabla(\mu))$ を特定すること。
• 正則な重みに対して、一般化されたシュール代数における $L(\lambda)$、$\nabla(\lambda)$、および $\Delta(\lambda)$ の射影的および単射的次元を導出すること。
• $p>n$ または $S(mp,p)$（$m\in\mathbb{N}$）のときのシュール代数 $S(n,r)$ のグローバル次元を計算し、結果を量子設定に拡張すること。

提案手法

• Jantzenによって導入された翻訳ファンクターを用いて、正則な重みにおける誘導モジュール $\nabla(\lambda)$ およびWeylモジュール $\Delta(\mu)$ の構造を分析する。
• 正則な $\lambda, \mu$ に対して、$\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ が $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$ のときに限り成り立つことを確立する。
• Weylモジュールと誘導モジュールの双対性および翻訳ファンクターの性質を活用して、フィルトレーション次元を計算する。
• Weylフィルトレーション次元の結果を応用し、一般化されたシュール代数における単純モジュール、誘導モジュール、Weylモジュールの射影的および単射的次元を決定する。
• $p$ を $l$（単位根の位数）に置き換え、量子翻訳ファンクターと $l$-アラコフを用いて、結果を量子設定に拡張する。
• ドミナント重み上の $\uparrow$-順序および準ヘレディタリー代数の構造を用いて、$q$-シュール代数のグローバル次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則な重み $\lambda$ を持つ線形代数的群 $G$ における誘導モジュール $\nabla(\lambda)$ のWeylフィルトレーション次元は何か？
• RQ2 正則な重み $\lambda, \mu$ に対して、Ext群 $\operatorname{Ext}^*(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 正則な $\lambda$ に対して、一般化されたシュール代数における $L(\lambda)$、$\nabla(\lambda)$、$\Delta(\lambda)$ の射影的および単射的次元は何か？
• RQ4 $p>n$ または $S(mp,p)$（$m\in\mathbb{N}$）のとき、シュール代数 $S(n,r)$ のグローバル次元は何か？
• RQ5 Weylフィルトレーション次元およびグローバル次元に関する結果を、量子群設定および $q$-シュール代数に拡張できるか？

主な発見

• $\mathrm{GL}_n$ において $p>n$ のとき、正則な重み $\lambda$ に対して $\nabla(\lambda)$ のWeyルフィルトレーション次元は $\operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) = (n-1)\left\lfloor\frac{r}{p}\right\rfloor$ に等しい。
• 正則な重み $\lambda, \mu$ に対して、$\operatorname{Ext}^i(\nabla(\lambda),\Delta(\mu))\cong k$ が成り立つのは $i = \operatorname{wfd}(\nabla(\lambda)) + \operatorname{wfd}(\nabla(\mu))$ のときに限る。
• 一般化されたシュール代数における $L(\lambda)$ の射影的次元は $2\cdot\operatorname{wfd}(L(\lambda))$ であり、同様に単射的次元に対しても成り立つ。
• $p>n$ のとき、$S(n,r)$ のグローバル次元は $2(n-1)\left\lfloor\frac{r}{p}\right\rfloor$ に等しい。また、$S(mp,p)$ のグローバル次元は $l=p$ のとき $2(m)(l-1)$ に等しい。
• $q$ が原始的 $l$ 乗根であり $l>n$ のとき、$q$-シュール代数 $S_q(n,r)$ のグローバル次元は $2(n-1)\left\lfloor\frac{r}{l}\right\rfloor$ に等しく、$S_q(l,ml)$ の場合は $2(l-1)m$ に等しい。
• 結果は量子設定に拡張可能である：$S_q(n,r)$ のWeylフィルトレーション次元およびグローバル次元は、体の特性に依存せず、$l$ のみに依存する。