[論文レビュー] On the Goodness-of-Fit Testing for Ergodic Diffusion Processes

Yury A. Kutoyants|ArXiv.org|Mar 26, 2009

Diffusion Coefficients in Liquids参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分散係数が既知で、ドリフト係数に関する単純仮説の下で、漸近的分布自由（ADF）なCramér-von Mises型適合度検定を、定常的拡散過程に対して提案する。経験分布関数と不変密度の局所時刻推定量を用いることで、検定統計量を漸近的分布自由に変換し、異なるモデル間で有効な臨界値を保証する。また、すべての固定代替仮説に対して一貫性を確立する。

ABSTRACT

We consider the goodness of fit testing problem for ergodic diffusion processes. The basic hypothesis is supposed to be simple. The diffusion coefficient is known and the alternatives are described by the different trend coefficients. We study the asymptotic distribution of the Cramer-von Mises type tests based on the empirical distribution function and local time estimator of the invariant density. At particularly, we propose a transformation which makes these tests asymptotically distribution free. We discuss the modifications of this test in the case of composite basic hypothesis.

研究の動機と目的

• 定常的拡散過程に対する適合度検定を、ドリフト係数に関する単純仮説の下で開発すること。
• 帰無仮説の下で検定統計量が漸近的分布自由（ADF）となるように保証し、普遍的な臨界値を可能にすること。
• 特定の代替トレンド関数に依存しない、すべての固定代替仮説に対して検定の一貫性を確立すること。
• パラメータ推定を検定構築に組み込むことで、複合仮説への枠組みの拡張を図ること。

提案手法

• 経験分布関数と不変密度の局所時刻推定量に基づいて、Cramér-von Mises型の検定統計量を構築する。
• 弱収束理論を用いて、帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布を導出する。
• 検定統計量に、元のモデル依存性を取り除く変換を施し、漸近的分布自由性を達成する。
• 帰無仮説の下で真の不変密度を一貫的に推定できる、局所時刻に基づく不変密度推定量を用いる。
• 帰無仮説の下で、検定統計量の漸近的正規性およびブラウン運動ブリッジの関数への分布収束を確立する。
• 固定代替仮説の下での検定の挙動を分析し、代替仮説の下で検定統計量が無限大に発散することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常的拡散過程に対するCramér-von Mises型検定を、帰無仮説の下で漸近的分布自由（ADF）にできるか？
• RQ2 連続時間の標本パスから不変密度を一貫して推定する方法は何か？ これにより適合度検定が可能になる。
• RQ3 どの変換が、検定統計量の極限分布がモデルパラメータや真のドリフト関数に依存しないように保証するか？
• RQ4 提案された検定は、すべての固定代替仮説に対して一貫性を示すか？ たとえ帰無仮説からの小さなずれであっても同様か？
• RQ5 Kullback-Leibler距離によって定義された代替仮説の下で、検定はどのように動作するか？ なぜこのような場合に一貫性が一様でなくなるのか？

主な発見

• 適切な変換を施した後、提案された検定統計量はブラウン運動ブリッジの関数に分布収束するため、漸近的分布自由となる。
• すべての固定代替仮説に対して検定は一貫性を示す。なぜなら、任意の代替トレンド関数の下で検定統計量が無限大に発散するからである。
• 検定統計量の漸近的分布は、元のモデルパラメータに依存しないため、さまざまな拡散モデル間で普遍的な臨界値を用いることが可能である。
• 局所時刻に基づく不変密度推定量は一貫性を達成し、連続時間観測から検定統計量を構築可能にする。
• Kullback-Leibler距離によって定義された代替仮説の下では、検定は一様一貫性を失う。これは、真の密度と帰無仮説の密度との間でL2距離が消えるためである。
• このような代替仮説の下では、カイ二乗検定がより適切な代替手段となり得る。最小最大最適性を達成する可能性がある。