[論文レビュー] On the Goulden-Jackson-Vakil conjecture for double Hurwitz numbers

Norman Do, Danilo Lewański|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一重の双ホワイト数の多項式構造に関するGoulden-Jackson-Vakil予想を、モジュライ空間上のホッジ類、スピン曲線上のチオド類、および安定曲線のモジュライ空間上のトートロジカル類を用いた3つの別個のELSV型公式によって証明する。主な貢献は、一重の双ホワイト数の多項式的構造をモジュライ空間の交差数として実現する精確な交差論的公式であり、低(genus)のケースで明示的な検証が行われ、スピンホワイト数への一般化もなされている。

ABSTRACT

Goulden, Jackson and Vakil observed a polynomial structure underlying one-part double Hurwitz numbers, which enumerate branched covers of $\mathbb{CP}^1$ with prescribed ramification profile over $\infty$, a unique preimage over 0, and simple branching elsewhere. This led them to conjecture the existence of moduli spaces and tautological classes whose intersection theory produces an analogue of the celebrated ELSV formula for single Hurwitz numbers. In this paper, we present three formulas that express one-part double Hurwitz numbers as intersection numbers on certain moduli spaces. The first involves Hodge classes on moduli spaces of stable maps to classifying spaces; the second involves Chiodo classes on moduli spaces of spin curves; and the third involves tautological classes on moduli spaces of stable curves. We proceed to discuss the merits of these formulas against a list of desired properties enunciated by Goulden, Jackson and Vakil. Our formulas lead to non-trivial relations between tautological intersection numbers on moduli spaces of stable curves and hints at further structure underlying Chiodo classes. The paper concludes with generalisations of our results to the context of spin Hurwitz numbers.

研究の動機と目的

• 一重の双ホワイト数の多項式的構造に関するGoulden-Jackson-Vakil予想を、明示的なELSV型公式を構成することで解決すること。
• 一重の双ホワイト数を再現する交差数としてのモジュライ空間およびトートロジカル類を同定すること。
• ホワイト数の数え上げと、安定曲線、写像、スピン曲線のモジュライ空間上の交差論の間の対応関係を確立すること。
• スピンホワイト数の文脈に一般化し、チオド積分の新しい公式を導出すること。

提案手法

• 3つの別個のELSV型公式を導出する：$B\mathbb{Z}_r$ への安定写像のモジュライ空間上のホッジ類、スピン曲線のモジュライ空間上のチオド類、および $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のトートロジカル類を用いる。
• カットアンドジョイント方程式を用いて、genus 5までの低(genus)ホワイト数多項式を独立に検証する。
• 半無限のウェッジ形式主義を適用し、スピンホワイト数の生成関数を導出し、それらをチオド積分に関連付ける。
• admcyclesパッケージを活用して、主な定理（特に定理5.1）のケースを数値的に検証する。
• 任意のパラメータを用いたチオド類の $\epsilon_*$-プッシュフォワードを導入することで、スピンホワイト数への一般化を確立する。
• 関数 $\mathcal{S}(x) = \sinh(x/2)/(x/2)$ を用いて生成関数を表現し、チオド積分の明示的評価のための係数抽出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一重の双ホワイト数は、Goulden, Jackson, Vakilが予想したように、安定曲線、写像、スピン曲線のモジュライ空間上の交差数として表現可能か？
• RQ2 提案された公式は、多項式的性質や対称性といった、有効なELSV型公式に必要な一次的および二次的性質を満たしているか？
• RQ3 一重ホワイト数に観察された多項式的構造のスピン版は存在するか？ もしあるならば、チオド積分によって記述可能か？
• RQ4 チオドクラスがホワイト数公式に現れる様子から、それらの構造をさらに理解できるか？
• RQ5 公式は、オルビフォールドまたはスピンホワイト数の文脈に一般化可能か？ そして、どのような新しい恒等式が導かれるか？

主な発見

• 本稿は、一重の双ホワイト数のための3つの別個のELSV型公式を確立した：$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(B\mathbb{Z}_r, d)$ 上のホッジ類、スピン曲線上のチオド類、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のトートロジカル類を用いる。
• チオド類を用いた公式は $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \frac{\epsilon_*\mathrm{Chiodo}(pr,p;-q,\ldots,-q)}{\prod_{i=1}^{d/q}(1 - \frac{q}{pr}\psi_i)} = \left(\frac{q^{\lfloor q/pr\rfloor}}{\lfloor q/pr\rfloor!}\right)^{d/q} \cdot d^{3g-4+n} \cdot \text{coefficient extraction}$ で与えられる。
• スピンホワイト数のための生成関数は $[z_1^r \cdots z_b^r] \, d^{b-1} \prod_{j=1}^b \mathcal{S}(d z_j) \prod_{i=1}^n \mathcal{S}(\mu_i z_{[b]}) \frac{z_{[b]}^{n-1}}{\mathcal{S}(z_{[b]})}$ であり、ここで $b = (2g-1+n)/r$ かつ $\mathcal{S}(x) = \sinh(x/2)/(x/2)$ である。
• チオド積分のための公式は、以前の結果を一般化している：$\int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \frac{\epsilon_*\mathrm{Chiodo}^{[dr]}_{g,n}(dr,d; -\mu_1,\ldots,-\mu_n)}{\prod_{i=1}^n (1 - \mu_i \psi_i)} = \frac{d^{3g-4+n}}{r^{A(r)}} \times \text{coefficient extraction}$ で、$A(r) = 1 - g + b$ である。
• 低(genus)多項式はカットアンドジョイント方程式により検証され、$h_{0;\mu}^{\text{one-part}} = d^{n-2}$、$h_{1;\mu}^{\text{one-part}} = \frac{d^n}{24}(\sum \mu_i^2 - 1)$、および genus 5までの高(genus)の式が確認された。
• 結果は、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のトートロジカル交差数の非自明な関係を明らかにし、特にスピン設定におけるチオドクラスのより深い構造を示唆している。