[論文レビュー] On the Gröbner complexity of matrices

Raymond Hemmecke, Kristen A. Nairn|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、行列 $ A $ のユニバーサル・グレブナー基底 $ \mathcal{U}(A) $ とグラーバー基底 $ \mathcal{G}(A) $ が一致する場合、そのグレブナー複雑度 $ u(A) $ とグラーバー複雑度 $ g(A) $ が等しいことを確立している。行列 $ A_{a,b} = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\ 0&a&b&a+b\end{pmatrix} $ に対して、$ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ を証明し、未解決であった問題を解決。これにより、$ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $、$ u(A_{3\times4}) \geq 27 $、および $ u(A_{\text{twisted cubic}}) = 6 $ が確認された。

ABSTRACT

In this paper we show that if for an integer matrix A the universal Gröbner basis of the associated toric ideal \Ideal_A coincides with the Graver basis of A, then the Gröbner complexity u(A) and the Graver complexity g(A) of its higher Lawrence liftings agree, too. We conclude that for the matrices A_{3 imes 3} and A_{3 imes 4}, defining the 3 imes 3 and 3 imes 4 transportation problems, we have u(A_{3 imes 3})=g(A_{3 imes 3})=9 and u(A_{3 imes 4})=g(A_{3 imes 4})\geq 27. Moreover, we prove u(A_{a,b})=g(A_{a,b})=2(a+b)/\gcd(a,b) for positive integers a,b and A_{a,b}=(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 0 & a & b & a+b \end{smallmatrix}).

研究の動機と目的

• 行列 $ A $ のグレブナー複雑度 $ u(A) $ とグラーバー複雑度 $ g(A) $ が等しくなる条件を確立すること。
• 未解決問題である $ u(A_{3\times4}) $ の計算を解決し、$ u(A_{3\times4}) \geq 27 $ を示し、等号が成り立つと予想すること。
• 2×4行列の族に対して、閉形式の公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ を証明すること。
• $ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $ が成立することを確認し、長年の文献上のギャップを解消すること。
• 行列 $ A_n = \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\1&\cdots&n&1\end{pmatrix} $ のグラーバー基底に関する $ 2c $-予想を検証し、最大 $ \ell^1 $-ノルムが $ 2(n-1) $ であることを示すこと。

提案手法

• ユニバーサル・グレブナー基底と最小整数関係に関する構造的補題を用いて、$ \mathcal{U}(A) = \mathcal{G}(A) $ ならば $ u(A) = g(A) $ を証明する。
• $ \mathcal{U}(A) $ の対称性と、基底ベクトル間に存在する最小の非負整数関係を用いて、$ \mathcal{U}(A^{(s)}) $ にタイプ $ s $ の要素を構成する。
• 線形代数を用いて、$ A_{a,b} $ のグラーバー基底の計算を、整数核を保存する同等の行列 $ B_{a+b} $ に還元する。
• 1, 2, \dots, n の間の整数関係を、$ A_n $ の核に属するベクトルに翻訳し、分割恒等式の結果を応用して $ \ell^1 $-ノルムを評価する。
• 文献[4]の補題1を適用し、$ \|x\|_1 \leq 2(n-1) $ の上限を得る。等号は特定の最小ベクトルで達成される。
• 具体的な最小ベクトルを構成することで、上限のタイトさを検証し、グラーバー基底における最大 $ \ell^1 $-ノルムが $ 2(n-1) $ であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニバーサル・グレブナー基底 $ \mathcal{U}(A) $ とグラーバー基底 $ \mathcal{G}(A) $ が一致する条件は何か？ その場合、$ u(A) $ と $ g(A) $ にどのような影響があるか？
• RQ2 $ u(A_{3\times4}) $ のグレブナー複雑度は何か？ また、$ g(A_{3\times4}) $ と等しいと予想されるか？
• RQ3 行列 $ \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\0&1&2&\cdots&c&1\end{pmatrix} $ に対して、$ 2c $-予想は成り立つか？ すなわち、そのグラーバー基底における最大 $ \ell^1 $-ノルムは正確に $ 2c $ か？
• RQ4 すべての正の整数 $ a,b $ に対して、公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ が成り立つか？
• RQ5 辞書式グレブナー基底が5で有界であるにもかかわらず、3×3輸送行列のグレブナー複雑度が5より厳密に大きい可能性はあるか？

主な発見

• 本稿では、$ \mathcal{U}(A) = \mathcal{G}(A) $ である場合に $ u(A) = g(A) $ が成り立つことを証明し、両複雑度が一致する一般的条件を確立した。
• 3×3輸送行列 $ A_{3\times3} $ に対して、$ u(A_{3\times3}) = g(A_{3\times3}) = 9 $ であることを示し、以前未解決であったケースを解決した。
• 3×4輸送行列 $ A_{3\times4} $ に対して、$ u(A_{3\times4}) = g(A_{3\times4}) \geq 27 $ を証明し、等号が成り立つと予想した。
• すべての正の整数 $ a,b $ に対して、公式 $ u(A_{a,b}) = g(A_{a,b}) = 2(a+b)/\gcd(a,b) $ が成り立つことが証明された。ここで $ A_{a,b} = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&a&b&a+b\end{pmatrix} $ である。
• $ 2c $-予想が正当であることが確認された：行列 $ \begin{pmatrix}1&\cdots&1&0\\1&\cdots&c+1&1\end{pmatrix} $ のグラーバー基底における最大 $ \ell^1 $-ノルムは正確に $ 2c $ である。
• 本稿では、$ \mathcal{U}(A_{3\times3}^{(9)}) $ にタイプ6, 7, 8, 9の要素を明示的に構成し、一部のユニバーサル・グレブナー基底が辞書式基底よりも複雑なベクトルを含むことを示した。