[論文レビュー] On the graph isomorphism problem

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Jan 2, 2008

Graph theory and applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、二重確率的行列の凸多面体上の線形方程式および不等式の可解性に基づいて、グラフ同型性問題（GIP）と部分グラフ同型性問題（SGIP）を意思決定問題として定式化する。GIPとSGIPは、多面体 $Ψ_{n,n}$ の定義不等式の数が多項式である限り、多項式時間で決定可能であることが示されたが、論文ではその数が指数的である可能性を認め、GIPの計算複雑性は未解決のままである。

ABSTRACT

We relate the graph isomorphism problem to the solvability of certain systems of linear equations with nonnegative variables. This version replaces the two previous versions of this paper.

研究の動機と目的

• グラフ同型性問題（GIP）を、線形方程式および不等式の可解性に関連付けること。
• 凸多面体 $Ψ_{n,n}$ の最小支持超平面数を用いて、GIPおよび部分グラフ同型性（SGIP）の複雑さを特徴づけること。
• 多面体 $Ψ_{n,n}$ に解が存在するかどうかが、GIPおよびSGIPの多項式時間決定可能性を提供するかを調査すること。
• 隣接行列の置換的同型性／同値性と、置換行列のクロネッカー積上の線形系との関係を明確にすること。
• 以前の主張を是正し、$Ψ_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$ を示すことにより、同型性の必要条件だが十分条件ではないことを確立すること。

提案手法

• グラフを隣接行列 $A$ および $B$ で表現し、同型性を置換行列 $P, Q \in \mathcal{P}_n$ を用いて $P(A+2I_n)Q^T = B+2I_n$ として再定式化する。
• Kronecker積 $P \otimes Q$ を用いて問題を高次元空間に写像し、凸包 $\Psi_{n,n} = \text{conv}(\mathcal{P}_n \otimes \mathcal{P}_n)$ を形成する。
• 同型性条件を、$Z \in \Psi_{n,n}$ に対する $n^2$ 個の線形方程式 $Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}$ の系として表現する。ここで $\widehat{M}$ は行列 $M$ のベクトル化である。
• 部分グラフ同型性の場合は、$Z \in \Psi_{n,n}$ に対する不等式系 $Z\widehat{(C+2^{n^2}I_n)} \leq \widehat{(B+2^{n^2}I_n)}$ に一般化する。ここで $C$ は孤立頂点を追加した小さいグラフの隣接行列である。
• $(4n-1)n^2$ 個の線形方程式を $n^4$ 個の非負変数に含む、より大きな多面体 $\Phi_{n,n}$ を定義し、$\Psi_{n,n}$ を含む。その後、楕円体法を用いて可解性を評価する。
• 楕円体アルゴリズムを用いて、$f(n)$ が多項式である限り、$\max(f(n), n)$ に多項式時間で線形系の可解性を決定する。ここで $f(n)$ は $\Psi_{n,n}$ を定義する不等式の数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ同型性問題は、二重確率的行列の凸多面体上の線形方程式系の可解性に還元可能か？
• RQ2 $Ψ_{n,n}$ の支持超平面数とグラフ同型性問題の複雑さの関係は何か？
• RQ3 $Z \in \Psi_{n,n}$ に対して $Z\widehat{(A+2I_n)} = \widehat{(B+2I_n)}$ が可解であることは、グラフ同型性の必要十分条件か？
• RQ4 部分グラフ同型性問題は、$Ψ_{n,n}$ 上の線形不等式系とどのように関係するか？
• RQ5 以前の主張 $\Phi_{n,n} = \Psi_{n,n}$ は正しいか、それとも $\Psi_{n,n}$ は $\Phi_{n,n}$ の真部分集合か？

主な発見

• 凸多面体 $\Psi_{n,n}$ が $f(n)$ 個の線形不等式および等式で特徴づけられる場合、グラフ同型性問題は $\max(f(n), n)$ に多項式時間で決定可能である。
• 同様の仮定のもとで、部分グラフ同型性問題は $n^2$ 個の線形不等式系を用いて、$\max(f(n), n)$ に多項式時間で決定可能である。
• 論文は、J. Rosenbergの反例を用いて、$n \geq 4$ に対して $\Psi_{n,n} \subsetneqq \Phi_{n,n}$ を証明することで、以前の主張を是正した。
• 楕円体法により、$f(n)$ が多項式であれば、$\Psi_{n,n}$ 上の線形系の可解性は多項式時間で決定可能であることが保証される。
• 置換的同型性および同値性は、$f(n)$ または $g(m,n)$（$\Psi_{n,n}$ や $\Psi_{m,n}$ の制約数）が多項式である限り、多項式時間で決定可能である。
• 多面体 $\Phi_{n,n}$ を $\Psi_{n,n}$ の代わりに用いる場合、同型性のための必要条件しか得られず、$f(n)$ が多項式でない限り、GIPの複雑性は解明されない。