[論文レビュー] On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory

Karl Schwarzschild|ArXiv.org|Dec 16, 1999

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、シュバルツシルト座標系を用いて、非圧縮性流体の静的かつ球対称な球体に対するアインシュタイン場方程式の最初の正確解を提示する。内部計量、圧力プロファイル、重力的質量-半径関係を確立し、中心密度が高くなるにつれて重力的質量と静止質量の比が増加することを示し、中心圧力が無限大かつ光速特異性を示すようになる $ \cos\chi_a = 1/3$ における最大コンパクトネス限界を特定する。この限界を超えると、安定な流体球は存在しない。

ABSTRACT

Communication by K. Schwarzschild to the Prussian Academy of Sciences, dealing with the gravitational field of a sphere of incompressible fluid.

研究の動機と目的

• アインシュタイン場方程式を用いて、均一で非圧縮性流体球内部の正確な相対論的重力場を導出すること。
• 一般相対性理論における静水的平衡を満たす内部計量および圧力分布を特定すること。
• 重力的質量、静止質量、コンパクトネスの関係を確立し、流体球の安定性における物理的限界を同定すること。
• 弱い場の極限でニュートン重力に還元され、既知の2次アインシュタイン補正を示すことを示すこと。

提案手法

• 座標系として球対称性を有し、$x_1 = r^3/3$、$x_2 = -\cos\vartheta$、$x_3 = \phi$、$x_4 = t$ を採用し、計量を $ds^2 = f_4 dt^2 - f_1 dr^2 - f_2 d\Omega^2$ に簡略化する。
• 非圧縮性流体のエネルギー運動量テンソル：$T^\mu_\nu = \text{diag}(-p, -p, -p, \rho_0)$、ここで $p$ は圧力、$\rho_0$ は定数密度。
• アインシュタイン場方程式 $G_{\mu\nu} = -\kappa (T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} T)$ を適用し、$f_1, f_2, f_4, p$ および行列式条件 $f_1 f_2^2 f_4 = 1$ の5つの連立微分方程式を導出する。
• 平衡条件 $\partial p / \partial x = -\frac{\rho_0 + p}{2 f_4} \partial f_4 / \partial x$ を解き、$(\rho_0 + p) \sqrt{f_4} = \gamma$ という重要な積分を得る。
• 変数 $\chi$ を $r = \sqrt{3/\kappa \rho_0} \sin\chi$ により導入し、方程式を三角関数的形に変換して解析的解法が可能になるようにする。
• 表面（$p=0$）で内部解と外部シュバルツシルト解を一致させ、$f_i$ 及びその微分の連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一で非圧縮性流体球内部の正確な相対論的計量は何か？
• RQ2 一般相対性理論における静水的平衡下で、圧力プロファイルは中心から表面へどのように変化するか？
• RQ3 不安定性や特異性が生じる前に、このような流体球が達成可能な最大コンパクトネス（質量-半径比）は何か？
• RQ4 重力的質量は静止質量とどのように比較されるか？この比は密度およびコンパクトネスに依存するか？
• RQ5 中心における光速および圧力の挙動は何か？この解はすべての密度に対して物理的に有効なままであるか？

主な発見

• 内部計量は角度 $\chi$ によって完全に決定され、$f_4 = \cos^2\chi / \cos^2\chi_a$、$f_1 = \cos^2\chi / \cos^2\chi_a$、$f_2 = \sin^2\chi / \cos^2\chi_a$ であり、$0 \leq \chi \leq \chi_a$ の範囲で有効。
• 重力的質量は $\alpha / 2k^2$ であり、ここで $\alpha = \kappa \rho_0 P_o^3 / 3$、$P_o = \sqrt{3/\kappa \rho_0} \sin\chi_a$ は外部から測定した半径。
• 重力的質量と静止質量の比は $\frac{\alpha}{2k^2 M} = \frac{2}{3} \frac{\sin^3\chi_a}{\chi_a - \frac{1}{2} \sin 2\chi_a}$ であり、$\chi_a$（つまり中心密度）が増加するにつれて増加する。
• 中心圧力および有効光速が発散するのは $\cos\chi_a = 1/3$ のときであり、これは最大コンパクトネス $P_o = 9/8 \alpha$ に対応し、これより先には安定な流体解は存在しない。
• 光速は表面で $1/\cos\chi_a$ から中心で $2/(3\cos\chi_a - 1)$ へと増加し、$\cos\chi_a = 1/3$ で無限大に達する。
• $\cos\chi_a < 1/3$ の場合、解は中心に達する前に特異性を示し、流体球の安定性における物理的限界を示している。