[論文レビュー] On the Gromov hyperbolicity of convex domains in Cn

Hervé Gaussier, Harish Seshadri|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ℂⁿにおける有界な滑らかな凸領域にKobayashi距離を導入した場合、その境界に非定数の解析的ディスクが含まれるならば、Gromov双曲的でないことを確立している。逆に、特定の弱い擬凸性を持つが強く擬凸でない領域——具体的にはp ≥ 1の複素楕円体Dₚ——がGromov双曲的であることを証明し、鋭い幾何的障害と、新たな例のクラスを提供している。

ABSTRACT

We give a necessary complex geometric condition for a bounded smooth convex domain in Cn, endowed with the Kobayashi distance, to be Gromov hyperbolic. More precisely, we prove that if a smooth bounded convex domain contains an analytic disk in its boundary, then the domain is not Gromov hyperbolic for the Kobayashi distance. We also provide examples of bounded smooth convex domains that are not strongly pseudoconvex but are Gromov hyperbolic.

研究の動機と目的

• ℂⁿ内の有界な滑らかな凸領域におけるKobayashi距離のもとでのGromov双曲的性の必要十分条件を特定すること。
• 滑らかな弱い擬凸性を持つ領域（強く擬凸でないもの）がKobayashi距離のもとでGromov双曲的である可能性があるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 境界に解析的ディスクが存在することに基づくGromov双曲的性の幾何的障害を特定すること。
• 強く擬凸でないがGromov双曲的である有界凸領域の明示的例を構成し、既知の強く擬凸領域のクラスを超えて拡張すること。

提案手法

• ℂⁿ内のC∞級有界凸領域が境界に非定数の解析的ディスクを含むならば、その領域におけるKobayashi距離はGromov双曲的でないことを証明する。
• 境界に解析的ディスクが存在する近傍におけるKobayashi距離の挙動を用いて、測地線三角形がδ-双曲的条件を満たさないことを示す。
• Lempertの定理とYau-Schwarz補題を用いて、凸領域上でのKobayashi距離とKähler-Einstein距離の間の双リプシッツ同値性を確立する。
• Toponogov比較定理を適用して、複素楕円体Dₚ（p ≥ 1）におけるKähler-Einstein距離が有界な負の断面曲率を持つことを示し、Gromov双曲的性を導く。
• Gromov双曲的性が距離関数の双リプシッツ同値性のもとで保存されることを応用し、Kähler-Einstein距離からの双曲的性をKobayashi距離へと移す。
• Bergman距離の一様に負の全純断面曲率を用いて、Kobayashi距離とKähler-Einstein距離の間の双リプシッツ同値性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂⁿ内の有界な滑らかな凸領域の境界に解析的ディスクが存在する場合、Kobayashi距離のもとでGromov双曲的性が妨げられるか？
• RQ2 ℂⁿ内の滑らかで弱い擬凸性を持ち、強く擬凸でない領域がKobayashi距離のもとでGromov双曲的である可能性はあるか？
• RQ3 有界凸領域におけるKobayashi距離のもとでのGromov双曲的性を特徴づける正確な複素幾何的条件は何か？
• RQ4 p ≥ 1の複素楕円体Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1} はKobayashi距離のもとでGromov双曲的か？
• RQ5 凸領域上でのKobayashi距離とKähler-Einstein距離の間の双リプシッツ同値性はどのように関係するか？

主な発見

• ℂⁿ内のC∞級有界凸領域が境界に非定数の解析的ディスクを含むならば、その領域におけるKobayashi距離はGromov双曲的でない。
• 複素楕円体Dₚ = {(z′, zn) ∈ ℂⁿ : |z′|² + |zn|²ᵖ < 1} はp ≥ 1のときKobayashi距離のもとでGromov双曲的である。
• DₚにおけるKobayashi距離はKähler-Einstein距離と双リプシッツ同値であり、その断面曲率は二つの負の定数の間で有界である。
• DₚにおけるKähler-Einstein距離は一様に負の断面曲率を持つ。Dₚは単連結であるから、この距離のもとでGromov双曲的である。
• Gromov双曲的性は双リプシッツ同値性のもとで保存されるので、DₚはKobayashi距離のもとでもGromov双曲的である。
• この結果により、強く擬凸でない領域に対してもGromov双曲的性が成立しうることを示し、強く擬凸領域に限らない新たな例のクラスを提供している。