[論文レビュー] On the Grothendieck groups of toric stacks

Zheng Hua|ArXiv.org|Apr 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スターリング＝ライスナー環のコhen＝マカウレイ性とコシュール複体の技法を用いて、滑らかで完全なトーリックデリーニュ＝マッダムスタックのグロテンディーク群 $K_0$ がねじれに自由であることを確立する。さらに、格子にねじれを含むトーリックスタックに対しても同様の結果が成り立つことを示し、$K$-理論にねじれを含む非完全スタックの例を構成することで、非完全スタックへの拡張が成り立たないことを示している。

ABSTRACT

In this note, we prove that the Grothendieck group of a smooth complete toric Deligne-Mumford stack is torsion free. This statement holds when the generic point is stacky. We also construct an example of open toric stack with torsion in K-theory. This is a part of the author's Ph.D thesis.

研究の動機と目的

• 滑らかで完全なトーリックデリーニュ＝マッダムスタックのグロテンディーク群 $K_0$ の構造を特定すること。
• 格子 $N$ にねじれを含む場合（すなわち、一般点に非自明な安定化を有する場合）に、$K_0$ のねじれ自由性が拡張されるかを検証すること。
• 非完全トーリックスタックに対して、ねじれ自由性が保持されるかどうかを調査すること。
• 非完全トーリックスタックの $K$-理論にねじれ元を含む具体例を構成すること。

提案手法

• BH で確立されたように、$K_0({\mathcal{X}}_{\bf\Sigma})$ とラテン多項式環 $R/I$ の商との同型を用いる。生成子 $x_i$ は、トーリックラインバンドルの類 $R_i$ に写像される。
• 定義関係 $h_j = \prod x_i^{\langle m_j,v_i\rangle} - 1$ を、負の指数を避けるために $g_j = \prod_{\langle m_j,v_i\rangle > 0} x_i^{\langle m_j,v_i\rangle} - \prod_{\langle m_j,v_i\rangle < 0} x_i^{-\langle m_j,v_i\rangle}$ に置き換える。この変更により、イデアルが保存される。
• 列 $g_1,\dots,g_d$ および拡張列 $g_1,\dots,g_d,p$ に対してコシュール複体を構成し、マッピングコーン関係 $K(g_1,\dots,g_d,p) = \operatorname{Cone}(\cdot p)[-1]$ を用いる。
• 平坦基底変換と $\mathbb{Z}$ 上でのファイバーごとのコhen＝マカウレイ性のチェックにより、スターリング＝ライスナー環 $A'$ 及びその局域化 $A$ のコhen＝マカウレイ性を確立する。
• 深さの議論とコシュールコホモロジーの消失定理を用いて、$K_0({\mathcal{X}}_{\bf\Sigma})$ 上での $p$ による乗法が単射であることを示し、ねじれ自由性を証明する。
• 非還元的の場合には、ガレー双対群 $DG(\beta)$ と $DG(\beta_{\text{red}})$ 間のコセット分解を用い、$K_0$ が還元スタックのねじれ自由な $K_0$ のコピーの直和であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで完全なトーリックデリーニュ＝マッダムスタックのグロテンディーク群 $K_0$ はねじれに自由か？
• RQ2 格子 $N$ にねじれを含む場合（すなわち、一般点に非自明な安定化を有する場合）に、$K_0$ のねじれ自由性は拡張可能か？
• RQ3 非完全トーリックスタックに対して、ねじれ自由性の結果は成立しない可能性があるか？
• RQ4 非完全トーリックスタックの $K_0$ の構造は何か？また、ねじれ元を含む可能性はあるか？

主な発見

• 滑らかで完全なトーリックデリーニュ＝マッダムスタックのグロテンディーク群 $K_0({\mathcal{X}}_{\bf\Sigma})$ は、自由な $\mathbb{Z}$-加群である。
• スタックが一般点に非自明な安定化を有する場合（すなわち、格子 $N$ にねじれを含む場合）であっても、$K_0$ のねじれ自由性は成り立つ。
• 証明は、すべての素数 $p$ に対して $K_0$ 上での $p$ による乗法が単射であることを、コシュール複体のマッピングコーンから得られる長完全系列を用いて示すことに依存する。
• ファインのスターリング＝ライスナー環は $\mathbb{Z}$ 上でコhen＝マカウレイ的であり、これは深さとコホモロジーの消失に関する議論に不可欠である。
• 非完全スタックの場合、結果は成り立たない：$K_0$ にねじれを含む非完全トーリックスタックの具体例が構成されている。
• 例 $\mathcal{X} = \mathbb{P}(1,1,1,1,2,2) \setminus \{(E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4) \cup (E_5\cap E_6)\}$ において、$t(1-t)^2$ は $K_0(\mathcal{X})$ のねじれ元である。