[論文レビュー] On the groupoid of transformations of rigid structures on surfaces

Louis Funar, Rùazvan Gelca|ArXiv.org|Jul 5, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、曲面における剛体構造の変換の2-群コアドのモア・サイバーグ方程式が完全に提示されることを厳密に証明し、3次元の余り付きトポロジカル量子場理論（TQFT）の普遍的な代数的枠組みを確立する。セールフ理論とハッチャーズ＝ターツン風の技法を用い、最大TQFTからこの2-群コアドの標準的表現を構成し、写像類群表現を一般化するとともに、双対性群コアドとDAP分解を介して、グロテンディークのタイヒミュラー塔と関連付ける。

ABSTRACT

We prove that the groupoid of transformations of rigid structures on surfaces has a finite presentation as a 2-groupoid establishing a result first conjectured by G.Moore and N.Seiberg. An alternative proof was given by B.Bakalov and A.Kirillov Jr. We present some applications to TQFTs. This is also related to recent work on the Grothendieck-Teichmuller groupoid by P.Lochak, A.Hatcher and L.Schneps.

研究の動機と目的

• 曲面における剛体構造の変換の2-群コアドが、モア・サイバーグ方程式によって完全に提示されることを厳密に証明すること。
• 余り付き最大3次元TQFTから、この2-群コアドの標準的表現を確立すること。
• 写像類群表現を、普遍的な2-群コアド構造に埋め込むことで一般化すること。
• 剛体構造とDAP分解を介して、双対性群コアドとグロテンディークのタイヒミュラー塔の関係を明確にすること。

提案手法

• 曲面上の曲線の同相型類およびその変換を分析するために、セールフ理論とハンドル体分解を適用する。
• マークィング（非同相な単純閉曲線の最大系）の群コアドを構成し、その提示を導出する。
• 組合せ的移動を用いて、群コアドをオーバーマークィング（曲面をディスク、アニュラー、パンツに分割する曲線）へと拡張する。
• ウォーカーの枠組みを用いて、構造を剛体構造（ねじれデータを伴うDAP分解）へと持ち上げ、モア・サイバーグ方程式が十分であることを証明する。
• ラベル付き辺を備えた3価グラフを用いた図式的計算を定義し、ベクトル空間と自己相関ブロックを関連付ける。
• TQFTの自己相関ブロックとラベル付きグラフ上のテンソル積との間に、局所的かつ標準的な同型写像を確立し、双対性群コアドの表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モア・サイバーグ方程式は、曲面における剛体構造の変換の2-群コアドを完全に提示するか？
• RQ2 余り付き3次元TQFTは、双対性群コアドの標準的表現をどのように生み出すか？
• RQ3 TQFTの文脈において、双対性群コアドと写像類群の関係は何か？
• RQ4 剛体構造（DAP分解）およびその変換は、タイヒミュラー塔とグロテンディークのプログラムとどのように関係するか？
• RQ5 TQFT公理と局所的接合を用いて、すべての曲面において双対性群コアドの表現を一様に構成できるか？

主な発見

• モア・サイバーグ方程式が、曲面における剛体構造の変換の2-群コアドを完全に提示することを証明した。
• 任意の最大TQFT（余り付き）から、双対性群コアドの標準的表現が構成され、写像類群表現が一般化された。
• ユニタリで巡回的TQFT（唯一の真空を有する）の自己相関ブロックは、3価グラフのラベルによってインデックス付けされた一次ブロック $W^{i}_{jk}$ に分解される。
• 同型写像 $\Phi([\sigma,\sigma']) = \Phi(\sigma')^{-1}\Phi(\sigma)$ は、ベクトル空間のテンソル積上での局所的で関手的な双対性群コアドの表現を定義する。
• 双対性群コアドは、すべての曲面の写像類群を含む普遍的対象であり、グロテンディークのタイヒミュラー塔に類似している。
• [18]における非巡回的TQFTの例では、補助的境界構造を追加することで、拡張された群コアド上に表現を構成できる。