[論文レビュー] On the growth rate of 1324-avoiding permutations

Andrew Conway, A J Guttmann|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

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ひとこと要約

この論文は、1324を避ける順列の母関数の項を5つ追加して計算する改善されたアルゴリズムを提示している。その結果、成長率が $ B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ の形をとる非代数的特異点である強力な数値的証拠が得られ、$ \mu \approx 11.60 \pm 0.01 $、$ \sigma = 1/2 $、$ \mu_1 \approx 0.0398 \pm 0.0010 $、$ g \approx -1.1 \pm 0.2 $、$ B \approx 9.5 \pm 1.0 $ であることが示された。この結果は、このような順列クラスの母関数が代数的であるという仮定に挑戦するものである。

ABSTRACT

We give an improved algorithm for counting the number of $1324$-avoiding permutations, resulting in 5 further terms of the generating function. We analyse the known coefficients and find compelling evidence that unlike other classical length-4 pattern-avoiding permutations, the generating function in this case does not have an algebraic singularity. Rather, the number of 1324-avoiding permutations of length $n$ behaves as $$B\cdot μ^n \cdot μ_1^{n^σ} \cdot n^g.$$ We estimate $μ=11.60 \pm 0.01,$ $σ=1/2,$ $μ_1 = 0.0398 \pm 0.0010,$ $g = -1.1 \pm 0.2$ and $B =9.5 \pm 1.0.$

研究の動機と目的

• 1324を避ける順列の既知の数列を、改善されたアルゴリズムを用いて5つの項を追加して拡張すること。
• 1324を避ける順列の母関数の係数の漸近的成長挙動を分析すること。
• 母関数が非代数的特異点構造を示すという仮説を検証すること。これは、他の古典的4パターン回避順列では知られている代数的形とは異なる。
• 漸近的形 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ における臨界パラメータ $ \mu $、$ \sigma $、$ \mu_1 $、$ g $、$ B $ の推定を行うこと。

提案手法

• 1324を避ける順列の母関数の係数を5つ追加して計算するために、Johansson-Nakamura (JN) アルゴリズムの改良版が用いられた。
• 2次および3次微分近似法（DAs）を用いて変換された級数を分析し、収束半径と臨界指数を推定した。
• 比の系列に対してBulirsch-Stoerアルゴリズムを適用し、成長定数 $ \mu $ を外挿した。パラメータ $ w = 1 $ が使用された。
• 漸近的形 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ を仮定し、$ \sigma = 1/2 $ とした。$ B $ は $ b_n / (\mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g) $ を $ 1/n $ に対して外挿することで推定された。
• 微分近似法と比の外挿法の結果を統合し、$ \mu $、$ \mu_1 $、$ g $、$ B $ の推定値を精緻化した。信頼区間は収束傾向から導出された。
• 研究は、係数系列の数値的証拠と外挿法の収束パターンに依存しており、$ \sigma = 1/2 $ を仮説として採用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1324を避ける順列の母関数は、他の古典的4パターン回避順列で知られている代数的特異点とは異なる非代数的特異点構造を示すか？
• RQ2 長さ $ n $ の1324を避ける順列の数の正確な漸近的成長形は何か？ また、$ \mu_1^{n^{1/2}} $ の形をした補助的項を含むか？
• RQ3 1324を避ける順列の成長定数 $ \mu $ は、以前の境界よりもより正確に推定可能か？ また、複数の数値的手法で一貫性があるか？
• RQ4 漸近的式 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{n^\sigma} \cdot n^g $ における臨界パラメータ $ \mu $、$ \mu_1 $、$ \sigma $、$ g $、$ B $ の推定値は何か？
• RQ5 微分近似法やBulirsch-Stoer外挿法といった異なる外挿技法において、観察された漸近的挙動は一貫性があるか？

主な発見

• 改善されたアルゴリズムにより、1324を避ける順列の母関数の係数を5つ追加して計算でき、既知の数列が拡張された。
• 数値的証拠は、非代数的特異点構造を強く支持しており、漸近的形 $ p_n \sim B \cdot \mu^n \cdot \mu_1^{\sqrt{n}} \cdot n^g $ が成り立つと仮定した。ここで $ \sigma = 1/2 $ が仮定されている。
• 成長定数は $ \mu = 11.60 \pm 0.01 $ と推定され、微分近似法とBulirsch-Stoer外挿法の収束から得られた。
• 補助的項は $ \mu_1 = 0.0398 \pm 0.0010 $ と推定され、特異点構造における伸びた指数的減衰を示している。
• 臨界指数は $ g = -1.1 \pm 0.2 $ と推定され、有理的でない、単純なべき乗則ではない挙動を示唆している。
• 振幅は $ B = 9.5 \pm 1.0 $ と推定され、$ 1/n $ に対する正規化係数の外挿から信頼性が得られた。