[論文レビュー] On the growth rate of minor-closed classes of graphs

Olivier Bernardi, Marc Noy+1 more|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ラベル付きグラフのマイナー閉じたクラスの成長率を調査し、その成長率が非常に制約されていることを確立している。具体的には、0から1の間、あるいは1から約1.76の間の定数を伴う階乗的成長を示すマイナー閉じたクラスは存在しない。著者らは、特定のグラフ族の包含関係に基づき、階乗的、ほぼ階乗的、半階乗的、指数的、多項式的、定数の6つのカテゴリに成長率を分類し、可能な成長定数の集合にギャップと極限点が存在することを証明した。これは、グラフクラスにおける良い順序付けと滑らかさに関する意味を持つ。

ABSTRACT

A minor-closed class of graphs is a set of labelled graphs which is closed under isomorphism and under taking minors. For a minor-closed class $C$, we let $c_n$ be the number of graphs in $C$ which have $n$ vertices. A recent result of Norine et al. shows that for all minor-closed class $C$, there is a constant $r$ such that $c_n < r^n n!$. Our main results show that the growth rate of $c_n$ is far from arbitrary. For example, no minor-closed class $C$ has $c_n= r^{n+o(n)} n!$ with $0 < r < 1$ or $1 < r < ξ\approx 1.76$.

研究の動機と目的

• ラベル付きグラフのマイナー閉じたクラスの可能な成長率を分類し、先行研究の遺伝的クラスへの拡張を図ること。
• 階乗的、指数的などの成長率カテゴリが、禁止マイナーの構造的条件のもとでどの程度達成可能かを特定すること。
• マイナー閉じたグラフクラスの成長定数の集合にギャップが存在するか、その性質を調査すること。
• 良い順序付けの性質が、成長定数の無限減少列の存在に与える影響を検討すること。
• マイナー閉じたクラスが良い定義された成長定数を持つ条件、およびそのクラスが滑らかである（つまり、比 g_n / (n g_{n-1}) が収束する）条件を調べること。

提案手法

• 著者らは、特定のグラフ族（例：パス、スターフォレスト、マッチング、スターフォレスト）の包含関係を、成長率の構造的基準として用いる。
• 指数的母関数と特異点解析を用いて、特に母関数の収束半径に注目し、漸近的成長推定を導出する。
• グラフマイナー理論の既知の結果（有限な禁止マイナーの特徴付け、良い順序付けの予想）を証明に利用する。
• 特に根付き木およびその変種のクラスに対して、成長定数を母関数の収束半径の逆数として分析する。
• 成長定数が収束するグラフクラスの系列を構成し、凸性と係数比較を用いて極限値の上限を評価する。
• 無限に減少する成長定数の系列の存在を、マイナー閉じたクラスにおける良い順序付け予想と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのマイナー閉じたグラフクラスに、(g_n / n!)^{1/n} の極限として定義される well-defined な成長定数が割り当てられるか？
• RQ2 可能な成長定数の集合にギャップが存在するか。もしあるならば、どの区間が除外されるか？
• RQ3 ξ ≈ 1.76 のとき、区間 (ξ, 2) が成長定数の集合においてギャップであるか？
• RQ4 2の累乗以外の代数的数が、マイナー閉じたグラフクラスの成長定数として取り得るか？
• RQ5 マイナー閉じたクラスが滑らかである（すなわち、比 g_n / (n g_{n-1}) が収束する）ための条件は何か？

主な発見

• 0 < c < 1 または 1 < c < ξ ≈ 1.76 を満たす成長定数 c を伴う階乗的成長を示すマイナー閉じたクラスは存在しない。これにより、成長定数のスペクトルに2つのギャップが存在することが立証された。
• 成長定数の集合には極限点が存在し、既知の最小の極限点は ν ≈ 2.24 である。これは、z exp(z/(1−z)) = 1 の正の最小根の逆数である。
• 各非負整数 k に対して、2^k は成長定数であり、これらは現在知られている唯一の代数的数としての成長定数である。
• マイナー閉じたクラスの成長率は、パスフォレスト、スターフォレスト、マッチング、スターフォレスト、単一辺グラフ、または自明なグラフの包含関係に基づき、完全に6つのカテゴリに分類可能である。
• マイナー閉じたクラスにおける良い順序付け予想が成立するならば、成長定数の無限減少列は存在できず、これにより既知の区間を超えてギャップが存在する必要がある。
• マイナー閉じたクラスの成長定数は、その指数的母関数の収束半径の逆数に等しく、排除マイナーが2連結であるクラスではこの定数が良好に定義される。